В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 42. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально? б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2? в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

Пусть в школе №1 было m учащихся, сумма баллов S_1, средний балл A_1 = S_1 / m (цело е). В школе №2: n учащихся, сумма S_2 = 42n. Ученик с баллом x перешёл из №1 в №2. После перехода средние баллы уменьшились на 10%. В школе №1: (S_1 - x)/(m - 1) = 0.9 A_1. В школе №2: (42n + x)/(n + 1) = 0.9* 42 = 37.8. Из второго уравнения: 42n + x = 37.8(n + 1) => x = 37.8 - 4.2n. Так как x — натуральное число, 37.8 - 4.2n должно быть целым. Это выполняется, когда 4.2n имеет дробную часть 0.8, что эквивалентно 2n=== 8+- od10, откуда n=== 4+- od5. Также x > 0, поэтому 37.8 - 4.2n > 0=> n < 9. С учётом n=== 4+- od5 и n>= 2 (по условию в каждой школе не менее 2 учащихся), единственное возможное значение: n = 4, и тогда x = 37.8 - 4.2* 4 = 37.8 - 16.8 = 21. Теперь из первого уравнения. Выразим S_1 через m и x. Из (S_1 - x)/(m - 1) = 0.9 A_1 и A_1 = S_1 / m: (S_1 - x)/(m - 1) = 0.9*(S_1)/(m). Умножим обе части на m(m-1): m(S_1 - x) = 0.9 S_1 (m - 1). Подставим x = 21: m(S_1 - 21) = 0.9 S_1 (m - 1). Раскроем скобки: m S_1 - 21m = 0.9 S_1 m - 0.9 S_1. Перенесём все члены с S_1 влево: m S_1 - 0.9 m S_1 + 0.9 S_1 = 21m. 0.1 m S_1 + 0.9 S_1 = 21m. S_1 (0.1 m + 0.9) = 21m. S_1 = (21m)/(0.1 m + 0.9) = (21m)/(0.1(m + 9)) = (210m)/(m + 9). Средний балл в школе №1: A_1 = (S_1)/(m) = (210)/(m + 9). По условию A_1 целое, поэтому m + 9 должно делиться на 210. Пусть k = A_1, тогда k(m + 9) = 210. Найдём все натуральные m>= 2, такие что m + 9 делит 210. Делители числа 210: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210. Так как m>= 2, то m + 9>= 11. Подходят делители: 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210. Соответствующие значения m: - m + 9 = 14=> m = 5, - m + 9 = 15=> m = 6, - m + 9 = 21=> m = 12, - m + 9 = 30=> m = 21, - m + 9 = 35=> m = 26, - m + 9 = 42=> m = 33, - m + 9 = 70=> m = 61, - m + 9 = 105=> m = 96, - m + 9 = 210=> m = 201. Теперь ответим на вопросы. а) Из возможных значений n только n = 4. Значит, в школе №2 изначально могло быть 4 учащихся. б) При n = 4, сумма баллов в школе №2 равна S_2 = 42* 4 = 168. Все учащиеся школы №2 набрали больше 21 балла. Чтобы максимизировать наибольший балл, минимизируем баллы трёх других учащихся. Наименьшие натуральные числа больше 21: 22, 23, 24. Их сумма равна 69, тогда четвёртый балл составит 168 - 69 = 99. Однако можно взять три балла по 22: 22 + 22 + 22 = 66, тогда четвёртый балл 168 - 66 = 102. При любом другом наборе из трёх минимальных баллов (например, 22, 22, 23 сумма 67, четвёртый 101) наибольший балл не превысит 102. Следовательно, наибольшее количество баллов, которое мог набрать учащийся школы №2, равно 102. в) Наибольшее возможное количество учащихся в школе №1 изначально равно максимальному m из найденных: m = 201. Ответ: а) 4 б) 102 в) 201

\(\text{а) }4\) \(\text{б) }102\) \(\text{в) }201\)