Задача №15458

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 42.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?

в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

Пусть в школе №1 было $m$ учащихся, сумма баллов $S_1\text{,}$ средний балл $A_1=S_1/m$ (цело

е). В школе №2: $n$ учащихся, сумма $S_2=42n\text{.}$ Ученик с баллом $x$ перешёл из №1 в №2.

После перехода средние баллы уменьшились на 10%.

В школе №1:

$$\frac{S_1-x}{m-1}=0.9A_1.$$

В школе №2:

$$\frac{42n+x}{n+1}=0.9\cdot 42=\mathrm{37.8.}$$

Из второго уравнения:

$$42n+x=37.8(n+1)\Rightarrow x=37.8-4.2n.$$

Так как $x$ — натуральное число, $37.8-4.2n$ должно быть целым. Это выполняется, когда $4.2n$ имеет дробную часть 0.8, что эквивалентно $2n\equiv 8(\mathrm{mod}10)\text{,}$ откуда $n\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{.}$

Также $x>0\text{,}$ поэтому $37.8-4.2n>0\Rightarrow n<9\text{.}$ С учётом $n\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ и $n\ge 2$ (по условию в каждой школе не менее 2 учащихся), единственное возможное значение: $n=4\text{,}$ и тогда $x=37.8-4.2\cdot 4=37.8-16.8=21\text{.}$

Теперь из первого уравнения. Выразим $S_1$ через $m$ и $x\text{.}$

Из $\frac{S_1-x}{m-1}=0.9A_1$ и $A_1=S_1/m\text{:}$

$$\frac{S_1-x}{m-1}=0.9\cdot \frac{S_1}{m}.$$

Умножим обе части на $m(m-1)\text{:}$

$$m(S_1-x)=0.9S_1(m-1).$$

Подставим $x=21\text{:}$

$$m(S_1-21)=0.9S_1(m-1).$$

Раскроем скобки:

$$m{S}_1-21m=0.9S_{1}m-0.9S_1.$$

Перенесём все члены с $S_1$ влево:

$$m{S}_1-0.9m{S}_1+0.9S_1=21m.$$ $$0.1m{S}_1+0.9S_1=21m.$$ $$S_1(0.1m+0.9)=21m.$$ $$S_1=\frac{21m}{0.1m+0.9}=\frac{21m}{0.1(m+9)}=\frac{210m}{m+9}.$$

Средний балл в школе №1:

$$A_1=\frac{S_1}{m}=\frac{210}{m+9}.$$

По условию $A_1$ целое, поэтому $m+9$ должно делиться на 210. Пусть $k=A_1\text{,}$ тогда $k(m+9)=210\text{.}$

Найдём все натуральные $m\ge 2\text{,}$ такие что $m+9$ делит 210. Делители числа 210: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.

Так как $m\ge 2\text{,}$ то $m+9\ge 11\text{.}$ Подходят делители: 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.

Соответствующие значения $m\text{:}$

• $m+9=14\Rightarrow m=5\text{,}$
• $m+9=15\Rightarrow m=6\text{,}$
• $m+9=21\Rightarrow m=12\text{,}$
• $m+9=30\Rightarrow m=21\text{,}$
• $m+9=35\Rightarrow m=26\text{,}$
• $m+9=42\Rightarrow m=33\text{,}$
• $m+9=70\Rightarrow m=61\text{,}$
• $m+9=105\Rightarrow m=96\text{,}$
• $m+9=210\Rightarrow m=201\text{.}$

Теперь ответим на вопросы.

а) Из возможных значений $n$ только $n=4\text{.}$ Значит, в школе №2 изначально могло быть 4 учащихся.

б) При $n=4\text{,}$ сумма баллов в школе №2 равна $S_2=42\cdot 4=168\text{.}$ Все учащиеся школы №2 набрали больше 21 балла. Чтобы максимизировать наибольший балл, минимизируем баллы трёх других учащихся. Наименьшие натуральные числа больше 21: 22, 23, 24. Их сумма равна 69, тогда четвёртый балл составит $168-69=99\text{.}$

Однако можно взять три балла по 22: $22+22+22=66\text{,}$ тогда четвёртый балл $168-66=102\text{.}$ При любом другом наборе из трёх минимальных баллов (например, 22, 22, 23 сумма 67, четвёртый 101) наибольший балл не превысит 102. Следовательно, наибольшее количество баллов, которое мог набрать учащийся школы №2, равно 102.

в) Наибольшее возможное количество учащихся в школе №1 изначально равно максимальному $m$ из найденных: $m=201\text{.}$

Ответ:

а) 4

б) 102

в) 201