На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Рассмотрим набор чисел {5,6,7,8,9}. Проверим попарные произведения: наименьшее 5⋅6=30>25, наибольшее 8⋅9=72<85, все произведения лежат в интервале (25;85). Значит, 5 чисел могут быть.
б) Предположим, что существует 6 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Обозначим их в порядке возрастания: a1<a2<a3<a4<a5<a6. Тогда a1a2>25 и a5a6<85.
Если a1=5, то a2≥6, тогда a3≥7, a4≥8, a5≥9, a6≥10, откуда a5a6≥9⋅10=90>85.
Если a1=4, то a2≥7 (поскольку 4⋅7=28>25), тогда a3≥8, a4≥9, a5≥10, a6≥11, и a5a6≥10⋅11=110>85. Для меньших a1 оценки ещё хуже. Следовательно, 6 чисел быть не может.
в) Найдём наибольшую сумму четырёх чисел. Пусть числа a<b<c<d. Условия: ab>25, cd<85, и все попарные произведения в (25;85).
Подбором находим, что набор {6,7,8,10} удовлетворяет: 6⋅7=42>25, 6⋅8=48, 6⋅10=60, 7⋅8=56, 7⋅10=70, 8⋅10=80<85. Сумма равна 31.
Покажем, что большая сумма невозможна. Если d≥11, то из ad<85 следует a≤7.
При a=7, d=11: b≥8, тогда bd≥8⋅11=88>84.
При a=6, d=11: b≥7, c≥8, но cd≥8⋅11=88>84.
При a=5, d=11 возможно только b=6, c=7 (иначе cd>84), сумма 5+6+7+11=29.
При d=12 и a=5 получаем набор {5,6,7,12} с суммой 30.
При d=10 и a=6 набор {6,7,8,10} даёт сумму 31.
При d=9 максимальная сумма из четырёх различных чисел не превышает 6+7+8+9=30. Таким образом, наибольшая сумма равна 31.
Ответ:
а) 5 чисел могут быть.
б) 6 чисел быть не может.
в) 31.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ