На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

а) Рассмотрим набор чисел 5, 6, 7, 8, 9 . Проверим попарные произведения: наименьшее 5* 6 = 30 > 25 , наибольшее 8* 9 = 72 < 85 , все произведения лежат в интервале (25; 85) . Значит, 5 чисел могут быть. б) Предположим, что существует 6 различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Обозначим их в порядке возрастания: a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 . Тогда a_1 a_2 > 25 и a_5 a_6 < 85 . Если a_1 = 5 , то a_2>= 6 , тогда a_3>= 7 , a_4>= 8 , a_5>= 9 , a_6>= 10 , откуда a_5 a_6>= 9* 10 = 90 > 85 . Если a_1 = 4 , то a_2>= 7 (поскольку 4* 7 = 28 > 25 ), тогда a_3>= 8 , a_4>= 9 , a_5>= 10 , a_6>= 11 , и a_5 a_6>= 10* 11 = 110 > 85 . Для меньших a_1 оценки ещё хуже. Следовательно, 6 чисел быть не может. в) Найдём наибольшую сумму четырёх чисел. Пусть числа a < b < c < d . Условия: ab > 25 , cd < 85 , и все попарные произведения в (25; 85) . Подбором находим, что набор 6, 7, 8, 10 удовлетворяет: 6* 7 = 42 > 25 , 6* 8 = 48 , 6* 10 = 60 , 7* 8 = 56 , 7* 10 = 70 , 8* 10 = 80 < 85 . Сумма равна 31. Покажем, что большая сумма невозможна. Если d>= 11 , то из ad < 85 следует a<= 7 . При a = 7 , d = 11 : b>= 8 , тогда bd>= 8* 11 = 88 > 84 . При a = 6 , d = 11 : b>= 7 , c>= 8 , но cd>= 8* 11 = 88 > 84 . При a = 5 , d = 11 возможно только b = 6 , c = 7 (иначе cd > 84 ), сумма 5 + 6 + 7 + 11 = 29 . При d = 12 и a = 5 получаем набор 5, 6, 7, 12 с суммой 30. При d = 10 и a = 6 набор 6, 7, 8, 10 даёт сумму 31. При d = 9 максимальная сумма из четырёх различных чисел не превышает 6 + 7 + 8 + 9 = 30 . Таким образом, наибольшая сумма равна 31. Ответ: а) 5 чисел могут быть. б) 6 чисел быть не может. в) 31.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }31\)