В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Пусть общее количество контейнеров N , контейнеров с сахаром (N)/(4) . Пусть среди контейнеров с сахаром x массой 20 т и y массой 60 т, тогда x + y = (N)/(4). Среди всех контейнеров: a — количество 20-тонных, b — количество 60-тонных, a + b = N. Контейнеры с сахаром: x a , y b . Общая масса M = 20a + 60b, масса с сахаром m = 20x + 60y. а) Возможно ли m = 0.2M ? Рассмотрим пример: x = 1 , y = 1 , тогда x + y = 2 , значит N = 8 . Пусть u = a - x , v = b - y , из условия u + v = 3(x + y) = 6 . Уравнение 5(x + 3y) = a + 3b приводит к u = (5x - 3y)/(2) = 1, v = (x + 9y)/(2) = 5. Тогда a = x + u = 2, b = y + v = 6. Вычислим массы: M = 20* 2 + 60* 6 = 400, m = 20* 1 + 60* 1 = 80. Доля (80)/(400) = 0.2 . Следовательно, возможно. б) Возможно ли m = 0.6M ? Условие: 5(x + 3y) = 3(a + 3b) . Выражая u и v , получаем v = -(7x + 3y)/(6). При x + y > 0 правая часть отрицательна, значит, невозможно. в) Наименьшая доля. Доля p = (m)/(M) = (20x + 60y)/(20(x + u) + 60(y + v)). Условие u + v = 3(x + y) . Чтобы минимизировать p , максимизируем знаменатель при фиксированных x и y , для этого берём v = 3(x + y) , u = 0 . Тогда p = (20x + 60y)/(20x + 60y + 180(x + y)) = (x + 3y)/(10x + 12y). Исследуем как функцию k = (y)/(x) (при x > 0 ): p(k) = (1 + 3k)/(10 + 12k). Производная положительна, минимум при наименьшем k , т.е. k = 0 ( y = 0 ). Тогда p = (x)/(10x) = 0.1. Пример: x = 1 , y = 0 , тогда x + y = 1 , N = 4 , v = 3 , u = 0 , a = 1 , b = 3 , M = 20 + 180 = 200, m = 20, доля 0.1 . Меньше невозможно, так как при y > 0 доля возрастает. Ответ: а) да б) нет в) 10%

а) да б) нет в) 10 %