Задача №15454

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Пусть общее количество контейнеров $N\text{,}$ контейнеров с сахаром $\frac{N}{4}\text{.}$ Пусть среди контейнеров с сахаром $x$ массой 20 т и $y$ массой 60 т, тогда

$$x+y=\frac{N}{4}.$$

Среди всех контейнеров: $a$ — количество 20-тонных, $b$ — количество 60-тонных,

$$a+b=N.$$

Контейнеры с сахаром: $x⩽a\text{,}$ $y⩽b\text{.}$ Общая масса

$$M=20a+60b,$$

масса с сахаром

$$m=20x+60y.$$

а) Возможно ли $m=0.2M\text{?}$

Рассмотрим пример: $x=1\text{,}$ $y=1\text{,}$ тогда $x+y=2\text{,}$ значит $N=8\text{.}$ Пусть $u=a-x\text{,}$ $v=b-y\text{,}$ из условия $u+v=3(x+y)=6\text{.}$ Уравнение $5(x+3y)=a+3b$ приводит к

$$u=\frac{5x-3y}{2}=1,v=\frac{x+9y}{2}=5.$$

Тогда

$$a=x+u=2,b=y+v=6.$$

Вычислим массы:

$$M=20\cdot 2+60\cdot 6=400,m=20\cdot 1+60\cdot 1=80.$$

Доля $\frac{80}{400}=0.2\text{.}$ Следовательно, возможно.

б) Возможно ли $m=0.6M\text{?}$

Условие: $5(x+3y)=3(a+3b)\text{.}$ Выражая $u$ и $v\text{,}$ получаем

$$v=-\frac{7x+3y}{6}.$$

При $x+y>0$ правая часть отрицательна, значит, невозможно.

в) Наименьшая доля. Доля

$$p=\frac{m}{M}=\frac{20x+60y}{20(x+u)+60(y+v)}.$$

Условие $u+v=3(x+y)\text{.}$ Чтобы минимизировать $p\text{,}$ максимизируем знаменатель при фиксированных $x$ и $y\text{,}$ для этого берём $v=3(x+y)\text{,}$ $u=0\text{.}$ Тогда

$$p=\frac{20x+60y}{20x+60y+180(x+y)}=\frac{x+3y}{10x+12y}.$$

Исследуем как функцию $k=\frac{y}{x}$ (при $x>0$):

$$p(k)=\frac{1+3k}{10+12k}.$$

Производная положительна, минимум при наименьшем $k\text{,}$ т.е. $k=0$ ($y=0$). Тогда

$$p=\frac{x}{10x}=\mathrm{0.1.}$$

Пример: $x=1\text{,}$ $y=0\text{,}$ тогда $x+y=1\text{,}$ $N=4\text{,}$ $v=3\text{,}$ $u=0\text{,}$ $a=1\text{,}$ $b=3\text{,}$

$$M=20+180=200,m=20,$$

доля $0.1\text{.}$ Меньше невозможно, так как при $y>0$ доля возрастает.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 10%