По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна. а) Может ли N быть равным 200? б) Может ли N быть равным 109? в) Найдите наибольшее значение N .

Из условия нечётности суммы любых трёх подряд чисел следует, что не все числа чётные. Из условия делимости суммы любых четырёх подряд на 4 получаем, что для всех i: a_i=== a_(i+4)+- od4. Совместно с условием нечётности суммы трёх можно показать, что все числа имеют одинаковую чётность. Поскольку не все чётные, то все числа нечётные. Тогда каждое число даёт остаток 1 или 3 по модулю 4. Из a_i=== a_(i+4)+- od4 следует, что последовательность остатков по модулю 4 имеет период, делящий 4 (возможные периоды: 1, 2, 4). Для круговой расстановки из N чисел период последовательности остатков должен делить N. Кроме того, сумма любых четырёх подряд делится на 4, что для периода 4 равносильно условию r_1 + r_2 + r_3 + r_4=== 0+- od4, где r_i — остатки первых четырёх чисел. При периоде 1 (все остатки одинаковы) условие выполняется автоматически. При периоде 2 (чередование 1 и 3) условие также выполняется. Максимальное количество нечётных чисел, не превосходящих 365, равно 183. При этом количество чисел с остатком 1 равно 92 (1, 5, …, 365), с остатком 3 — 91 (3, 7, …, 363). а) N=200 > 183, поэтому невозможно. б) N=109 не делится на 2 и 4, поэтому период может быть только 1. Тогда все числа имеют одинаковый остаток, но максимальное количество таких чисел равно 92 < 109, поэтому невозможно. в) Наибольшее N достигается при периоде 2, когда используются числа обоих остатков. Чтобы чередование было возможно, количества чисел с остатками 1 и 3 должны быть равны (при чётном N). Максимальное чётное N, при котором N/2 не превышает минимальное из количеств (91), равно 182. Пример: взять все числа с остатком 3 (91 число) и 91 число с остатком 1 (например, все, кроме одного). Расположить их по кругу чередуя. Тогда сумма любых четырёх подряд будет содержать два числа с остатком 1 и два с остатком 3, их сумма остатков кратна 4, а сами суммы кратны 4. Условие суммы трёх нечётных чисел нечётное также выполняется. Больше 182 невозможно, так как 183 нечётно и не делится на 2 или 4, а при периоде 1 максимум 92. Ответ: а) Нет. б) Нет. в) 182.

а) нет б) нет в) 182