Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли N быть равным 200?
б) Может ли N быть равным 109?
в) Найдите наибольшее значение N.
Из условия нечётности суммы любых трёх подряд чисел следует, что не все числа чётные. Из условия делимости суммы любых четырёх подряд на 4 получаем, что для всех i: ai≡ai+4(mod4). Совместно с условием нечётности суммы трёх можно показать, что все числа имеют одинаковую чётность. Поскольку не все чётные, то все числа нечётные.
Тогда каждое число даёт остаток 1 или 3 по модулю 4. Из ai≡ai+4(mod4) следует, что последовательность остатков по модулю 4 имеет период, делящий 4 (возможные периоды: 1, 2, 4). Для круговой расстановки из N чисел период последовательности остатков должен делить N. Кроме того, сумма любых четырёх подряд делится на 4, что для периода 4 равносильно условию r1+r2+r3+r4≡0(mod4), где ri — остатки первых четырёх чисел.
При периоде 1 (все остатки одинаковы) условие выполняется автоматически. При периоде 2 (чередование 1 и 3) условие также выполняется.
Максимальное количество нечётных чисел, не превосходящих 365, равно 183. При этом количество чисел с остатком 1 равно 92 (1, 5, …, 365), с остатком 3 — 91 (3, 7, …, 363).
а) N=200>183, поэтому невозможно.
б) N=109 не делится на 2 и 4, поэтому период может быть только 1. Тогда все числа имеют одинаковый остаток, но максимальное количество таких чисел равно 92 < 109, поэтому невозможно.
в) Наибольшее N достигается при периоде 2, когда используются числа обоих остатков. Чтобы чередование было возможно, количества чисел с остатками 1 и 3 должны быть равны (при чётном N). Максимальное чётное N, при котором N/2 не превышает минимальное из количеств (91), равно 182. Пример: взять все числа с остатком 3 (91 число) и 91 число с остатком 1 (например, все, кроме одного). Расположить их по кругу чередуя. Тогда сумма любых четырёх подряд будет содержать два числа с остатком 1 и два с остатком 3, их сумма остатков кратна 4, а сами суммы кратны 4. Условие суммы трёх нечётных чисел нечётное также выполняется. Больше 182 невозможно, так как 183 нечётно и не делится на 2 или 4, а при периоде 1 максимум 92.
Ответ:
а) Нет.
б) Нет.
в) 182.