На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31? в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа n. Найдите наименьшее возможное значение n.
Из условия следует, что сумма любых трёх чисел делится на 3, любых четырёх — на 4, любых пяти — на 5, любых шести — на 6. Отсюда все числа дают одинаковые остатки при делении на 3, 4, 5 и 6, значит, они сравнимы по модулю НОК(3,4,5,6)=60. Поэтому каждое число имеет вид 60k_i + r, где r — общий остаток. Число 30033 даёт остаток 33 при делении на 60, так как 30033 = 60* 500 + 33. Следовательно, r=33, и все числа имеют вид 60k_i + 33, где k_i — различные неотрицательные целые числа. а) Число 303 = 60* 5 + 3 имеет остаток 3, а не 33. Значит, 303 не может быть среди чисел. б) Пусть a = 60k+33, b = 60m+33. Если a/b = 31, то 60k+33 = 31(60m+33), откуда 60k = 1860m + 990 и k = 31m + 16.5, что не целое. Значит, отношение 31 невозможно. в) Пусть a/b = n^2. Тогда 60k+33 = n^2(60m+33). Преобразуем: 20(k - n^2 m) = 11(n^2 - 1). Отсюда 11(n^2-1) делится на 20, т.е. n^2-1 кратно 20. Наименьшее n>1, удовлетворяющее этому, — n=9 (так как 81-1=80). Пример: m=1, тогда k = 81m+44 = 125, числа a=60*125+33=7533, b=60*1+33=93, отношение 7533/93=81=9^2.
а) нет
б) нет
в) 9