Задача №15451

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Пусть исходные числа: $x_1,\dots ,x_n\text{,}$ сумма $S\text{.}$ Разобьем на три группы: первая (a чисел), вторая (b чисел), третья (c чисел), $a,b,c\ge 1\text{,}$ $n=a+b+c\text{.}$

После преобразования сумма равна:

$$S^{\prime }=\sum _{\text{гр1}}(10x_i+1)+\sum _{\text{гр2}}(10x_i+8)+\sum _{\text{гр3}}{x}_i=10S-9S_3+a+8b,$$

где $S_3$ — сумма чисел третьей группы.

Увеличение суммы в $k$ раз: $S^{\prime }=kS\text{,}$ откуда

$$(10-k)S=9S_3-a-8b.ag1$$

а) Для $k=4$ уравнение (1) принимает вид:

$$6S=9S_3-a-8b.$$

Приведём пример. Возьмём $n=3\text{,}$ $a=b=c=1\text{,}$ числа 1, 2, 9.

Исходная сумма: $S=1+2+9=12\text{.}$

Новая сумма: $11+28+9=48\text{.}$

Поскольку $48/12=4\text{,}$ увеличение в 4 раза возможно.

б) Для $k=18\text{:}$

$$-8S=9S_3-a-8b\Rightarrow a+8b=8S+9S_3.$$

Правая часть быстро растёт с ростом $n\text{.}$ Например, при минимальных числах $1,2,3$ ( $n=3$ ) правая часть не менее $8\cdot 6+9\cdot 1=57\text{,}$ левая часть не более $1+8\cdot 1=9\text{.}$ Равенство невозможно, значит, увеличение в 18 раз невозможно.

в) Для $k=11\text{:}$

$$-S=9S_3-a-8b\Rightarrow a+8b=S+9S_3.ag2$$

Чтобы максимизировать $n\text{,}$ возьмём разбиение с максимальной левой частью. Пусть $a=1\text{,}$ $c=1\text{,}$ $b=n-2\text{.}$ Тогда левая часть:

$$a+8b=1+8(n-2)=8n-15.$$

Уравнение (2) принимает вид:

$$8n-15=S+9S_3,$$

где $S_3=x$ — число третьей группы, $S=T+x\text{,}$ $T$ — сумма остальных $n-1$ чисел.

Отсюда

$$T=8n-15-10x.$$

Рассмотрим $n=10\text{:}$

$$T=8\cdot 10-15-10x=65-10x.$$

При $x=1$ получаем $T=55\text{.}$

Возьмём числа: $2,3,4,5,6,7,8,9,11$ (сумма 55). Исходные числа: $1,2,3,4,5,6,7,8,9,11\text{,}$ сумма $S=56\text{.}$

Распределение: третья группа: число 1, первая группа: число 2, вторая группа: остальные 8 чисел.

Проверка: $a+8b=1+8\cdot 8=65\text{,}$ $S+9S_3=56+9=65\text{,}$ условие выполнено.

Новая сумма:

$$\begin{array}{rlrl}\text{первая группа: }& 10\cdot 2+1=21,\text{вторая группа: }& 10\cdot (3+4+5+6+7+8+9+11)+8\cdot 8=10\cdot 53+64=594,\text{третья группа: }& 1,\end{array}$$

итого $21+594+1=616\text{.}$

Поскольку $616/56=11\text{,}$ пример работает.

Для $n=11$ минимальная правая часть при наименьших числах: если взять числа $1,2,\dots ,11\text{,}$ то $S=66\text{,}$ $S_3=1$ даёт $S+9S_3=66+9=75\text{,}$ левая часть максимальна при $a=1,c=1,b=9$ и равна $1+8\cdot 9=73\text{.}$ Поскольку $75>73\text{,}$ равенство невозможно.

Следовательно, наибольшее количество чисел — 10.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 10