На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз? в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Пусть исходные числа: x_1, , x_n , сумма S . Разобьем на три группы: первая (a чисел), вторая (b чисел), третья (c чисел), a,b,c>= 1 , n=a+b+c . После преобразования сумма равна: S' = _(гр1) (10x_i+1) + _(гр2) (10x_i+8) + _(гр3) x_i = 10S - 9S_3 + a + 8b, где S_3 — сумма чисел третьей группы. Увеличение суммы в k раз: S' = kS , откуда (10-k)S = 9S_3 - a - 8b. ag1 а) Для k=4 уравнение (1) принимает вид: 6S = 9S_3 - a - 8b. Приведём пример. Возьмём n=3 , a=b=c=1 , числа 1, 2, 9. Исходная сумма: S = 1+2+9 = 12 . Новая сумма: 11 + 28 + 9 = 48 . Поскольку 48/12 = 4 , увеличение в 4 раза возможно. б) Для k=18 : -8S = 9S_3 - a - 8b => a+8b = 8S + 9S_3. Правая часть быстро растёт с ростом n . Например, при минимальных числах 1,2,3 ( n=3 ) правая часть не менее 8* 6 + 9* 1 = 57 , левая часть не более 1 + 8* 1 = 9 . Равенство невозможно, значит, увеличение в 18 раз невозможно. в) Для k=11 : -S = 9S_3 - a - 8b => a+8b = S + 9S_3. ag2 Чтобы максимизировать n , возьмём разбиение с максимальной левой частью. Пусть a=1 , c=1 , b=n-2 . Тогда левая часть: a+8b = 1 + 8(n-2) = 8n - 15. Уравнение (2) принимает вид: 8n - 15 = S + 9S_3, где S_3 = x — число третьей группы, S = T + x , T — сумма остальных n-1 чисел. Отсюда T = 8n - 15 - 10x. Рассмотрим n=10 : T = 8* 10 - 15 - 10x = 65 - 10x. При x=1 получаем T = 55 . Возьмём числа: 2,3,4,5,6,7,8,9,11 (сумма 55). Исходные числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11 , сумма S = 56 . Распределение: третья группа: число 1, первая группа: число 2, вторая группа: остальные 8 чисел. Проверка: a+8b = 1 + 8* 8 = 65 , S + 9S_3 = 56 + 9 = 65 , условие выполнено. Новая сумма: aligned первая группа: & 10* 2 + 1 = 21, вторая группа: & 10* (3+4+5+6+7+8+9+11) + 8* 8 = 10* 53 + 64 = 594, третья группа: & 1, aligned итого 21 + 594 + 1 = 616 . Поскольку 616 / 56 = 11 , пример работает. Для n=11 минимальная правая часть при наименьших числах: если взять числа 1,2,,11 , то S = 66 , S_3 = 1 даёт S + 9S_3 = 66 + 9 = 75 , левая часть максимальна при a=1, c=1, b=9 и равна 1 + 8* 9 = 73 . Поскольку 75 > 73 , равенство невозможно. Следовательно, наибольшее количество чисел — 10. Ответ: а) да б) нет в) 10

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }10\)