Задача №15450

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?

в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школу №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Приведем пример. Пусть в школе №1 было 2 учащихся с баллами 1 и 19, средний балл

$$A=\frac{1+19}{2}=10.$$

В школе №2 было 7 учащихся, все с баллом 1, средний балл $B=1\text{.}$ После перехода учащегося с 19 баллами из школы №1 в школу №2 в школе №1 остается 1 учащийся с баллом 1, новый средний $A^{\prime }=1\text{,}$ что в 10 раз меньше исходного. Условия задачи выполнены.

б) Пусть в школе №1 было $m$ учащихся, сумма баллов $S_1\text{,}$ средний

$$A=\frac{S_1}{m};$$

в школе №2 — $n$ учащихся, сумма $S_2\text{,}$ средний

$$B=\frac{S_2}{n},$$

причем $m+n=9\text{,}$ $m,n⩾2\text{,}$ $A$ и $B$ целые.

После перехода учащегося с баллом $x$ из школы №1 в школу №2 новые средние:

$$A^{\prime }=\frac{S_1-x}{m-1},B^{\prime }=\frac{S_2+x}{n+1}.$$

Условие:

$$A^{\prime }=0.9A,B^{\prime }=0.9B.$$

Из этих уравнений получаем:

$$S_1=\frac{10mx}{m+9},S_2=\frac{10nx}{m}\text{ (используя }n=9-m).$$

Тогда

$$B=\frac{S_2}{n}=\frac{10x}{m}.$$

Если $B=7\text{,}$ то

$$7=\frac{10x}{m},$$

откуда

$$x=\frac{7m}{10}.$$

Так как $x$ натуральное, $7m$ должно делиться на $10\text{.}$ При $m$ от $2$ до $7$ ни одно значение не дает целого $x$ ($m=2:1.4\text{;}$ $m=3:2.1\text{;}$ $m=4:2.8\text{;}$ $m=5:3.5\text{;}$ $m=6:4.2\text{;}$ $m=7:4.9$). Следовательно, такого быть не может.

в) Из формул

$$A=\frac{10x}{m+9},B=\frac{10x}{m}.$$

Чтобы $A$ и $B$ были целыми, $10x$ должно делиться на $m$ и на $m+9\text{.}$ Пусть $d=\text{НОД}(m,m+9)$ ( $d$ делит $9$ ).

Наименьшее $x\text{,}$ при котором $10x$ кратно

$$\text{НОК}(m,m+9)=\frac{m(m+9)}{d},$$

равно

$$x=\frac{m(m+9)}{d\cdot \text{НОД}\left(\frac{m(m+9)}{d},10\right)}.$$

Тогда

$$B=\frac{10x}{m}=\frac{10(m+9)}{d\cdot \text{НОД}(L,10)},$$

где $L=\frac{m(m+9)}{d}\text{.}$

Перебирая $m$ от $2$ до $7\text{:}$

• $m=2\text{:}$ $d=1\text{,}$ $L=22\text{,}$ $\text{НОД}(22,10)=2\text{,}$ $B=55\text{;}$
• $m=3\text{:}$ $d=3\text{,}$ $L=12\text{,}$ $\text{НОД}(12,10)=2\text{,}$ $B=20\text{;}$
• $m=4\text{:}$ $d=1\text{,}$ $L=52\text{,}$ $\text{НОД}(52,10)=2\text{,}$ $B=65\text{;}$
• $m=5\text{:}$ $d=1\text{,}$ $L=70\text{,}$ $\text{НОД}(70,10)=10\text{,}$ $B=14\text{;}$
• $m=6\text{:}$ $d=3\text{,}$ $L=30\text{,}$ $\text{НОД}(30,10)=10\text{,}$ $B=5\text{;}$
• $m=7\text{:}$ $d=1\text{,}$ $L=112\text{,}$ $\text{НОД}(112,10)=2\text{,}$ $B=80\text{.}$

Наименьшее значение $B=5$ (при $m=6\text{,}$ $n=3$).

Ответ:

а) да, может (пример: в школе №1 2 учащихся с баллами 1 и 19, средний 10; после перехода учащегося с 19 баллами средний стал 1).

б) нет, не может.

в) 5.