В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз? б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7? в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школу №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Приведем пример. Пусть в школе №1 было 2 учащихся с баллами 1 и 19, средний балл A = (1+19)/(2) = 10. В школе №2 было 7 учащихся, все с баллом 1, средний балл B = 1. После перехода учащегося с 19 баллами из школы №1 в школу №2 в школе №1 остается 1 учащийся с баллом 1, новый средний A' = 1, что в 10 раз меньше исходного. Условия задачи выполнены. б) Пусть в школе №1 было m учащихся, сумма баллов S_1, средний A = (S_1)/(m); в школе №2 — n учащихся, сумма S_2, средний B = (S_2)/(n), причем m+n=9, m, n 2, A и B целые. После перехода учащегося с баллом x из школы №1 в школу №2 новые средние: A' = (S_1 - x)/(m - 1), B' = (S_2 + x)/(n + 1). Условие: A' = 0.9A, B' = 0.9B. Из этих уравнений получаем: S_1 = (10mx)/(m+9), S_2 = (10nx)/(m) (используя n=9-m). Тогда B = (S_2)/(n) = (10x)/(m). Если B=7, то 7 = (10x)/(m), откуда x = (7m)/(10). Так как x натуральное, 7m должно делиться на 10. При m от 2 до 7 ни одно значение не дает целого x (m=2: 1.4; m=3: 2.1; m=4: 2.8; m=5: 3.5; m=6: 4.2; m=7: 4.9). Следовательно, такого быть не может. в) Из формул A = (10x)/(m+9), B = (10x)/(m). Чтобы A и B были целыми, 10x должно делиться на m и на m+9. Пусть d = НОД(m, m+9) ( d делит 9 ). Наименьшее x, при котором 10x кратно НОК(m, m+9) = (m(m+9))/(d), равно x = (m(m+9))/(d* НОД( m(m+9)d, 10)). Тогда B = (10x)/(m) = (10(m+9))/(d* НОД(L, 10)), где L = (m(m+9))/(d). Перебирая m от 2 до 7: - m=2: d=1, L=22, НОД(22,10)=2, B=55; - m=3: d=3, L=12, НОД(12,10)=2, B=20; - m=4: d=1, L=52, НОД(52,10)=2, B=65; - m=5: d=1, L=70, НОД(70,10)=10, B=14; - m=6: d=3, L=30, НОД(30,10)=10, B=5; - m=7: d=1, L=112, НОД(112,10)=2, B=80. Наименьшее значение B=5 (при m=6, n=3). Ответ: а) да, может (пример: в школе №1 2 учащихся с баллами 1 и 19, средний 10; после перехода учащегося с 19 баллами средний стал 1). б) нет, не может. в) 5.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }5\)