Задача №15449

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться $2205\text{?}$

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться $3435\text{?}$

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Используем цифры 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9 ровно один раз. Одно число четырёхзначное, другое трёхзначное, оба кратны 45 (кратны 5 и 9). Сумма всех цифр $27\text{,}$ кратна 9, поэтому суммы цифр каждого числа также кратны 9. Возможные суммы цифр: 9 или 18.

Анализ показывает, что возможны два случая:

1. Трёхзначное из цифр {0; 2; 7} (сумма 9), оканчивается на 0 (так как 5 нет). Четырёхзначное из оставшихся {1; 3; 5; 9} (сумма 18), оканчивается на 5.
2. Трёхзначное из цифр {1; 3; 5} (сумма 9), оканчивается на 5. Четырёхзначное из оставшихся {0; 2; 7; 9} (сумма 18), оканчивается на 0.

а) Пример: трёхзначное $270\text{,}$ четырёхзначное $1935\text{.}$ Сумма $270+1935=2205\text{.}$ Проверка: $270$ и $1935$ кратны 45.

б) Перебором всех возможных пар (6 трёхзначных и 6 четырёхзначных для каждого случая) получаем суммы: $1665\text{,}$ $2205\text{,}$ $3465\text{,}$ $4185\text{,}$ $9405\text{,}$ $9585\text{,}$ $2115\text{,}$ $2655\text{,}$ $3915\text{,}$ $4635\text{,}$ $9855\text{,}$ $10035\text{,}$ $2925\text{,}$ $3105\text{,}$ $7425\text{,}$ $8055\text{,}$ $9405\text{,}$ $9855\text{,}$ $3105\text{,}$ $3285\text{,}$ $7605\text{,}$ $8235\text{,}$ $9585\text{,}$ $10035\text{.}$ Среди них нет $3435\text{.}$

в) Наибольшая сумма из найденных: $10035\text{.}$ Примеры: $720+9315=10035\text{,}$ $315+9720=10035\text{.}$

Ответ:

а) да, может (например, $270+1935=2205$)

б) нет, не может

в) $10035$