Задача №15448

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Пусть в день $i$ записано $k_i$ чисел, сумма $S_i\text{.}$ Условие: при $i⩾2$ $k_i<k_{i-1}$ и $S_i>S_{i-1}\text{.}$ Числа — натуральные, меньше 6 (т.е. $1,2,3,4,5$).

а) Может ли $n$ быть больше 5?

Пример для $n=5\text{:}$

$$k_i:6,5,4,3,2;S_i:6,7,8,9,10.$$

Конкретно: день 1: $1,1,1,1,1,1$ (сумма 6); день 2: $1,1,1,1,3$ (сумма 7); день 3: $1,1,1,5$ (сумма 8); день 4: $2,3,4$ (сумма 9); день 5: $5,5$ (сумма 10). Условия выполнены.

Можно построить примеры и для больших $n\text{,}$ например, $n=10\text{:}$

$$k_i:10,9,8,7,6,5,4,3,2,1;S_i:10,11,12,13,14,15,16,17,18,19.$$

(достижимо подбором чисел). Значит, $n$ может быть больше 5.

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

Пример: $n=3\text{,}$ $k_1=1000\text{,}$ $S_1=2900$ (среднее арифметическое в первый день $\frac{2900}{1000}=2,9<3$); $k_2=999\text{,}$ $S_2=4980\text{;}$ $k_3=998\text{,}$ $S_3=4981\text{.}$

Общая сумма:

$$2900+4980+4981=12861,$$

общее количество:

$$1000+999+998=2997.$$

Среднее арифметическое всех чисел:

$$\frac{12861}{2997}\approx 4,29>4.$$

Условия выполнены.

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Дано $S_1=6\text{.}$ Максимизируем общую сумму $S\text{.}$

Возможные $k_1\text{:}$ от 2 до 6 (так как сумма 6 из чисел $1$–$5$).

При $k_1=6$ (все единицы) можно построить цепочку с $n=4\text{:}$

$$k_1=6,k_2=5,k_3=4,k_4=3;S_1=6,S_2=13,S_3=14,S_4=15.$$

Пример: день 1: $1,1,1,1,1,1\text{;}$ день 2: $5,5,1,1,1\text{;}$ день 3: $5,5,2,2\text{;}$ день 4: $5,5,5\text{.}$

Сумма всех чисел:

$$6+13+14+15=48.$$

Это наибольшее значение, так как при $k_1<6$ цепочки короче или суммы меньше.

Ответ: 48.