В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 5? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Пусть в день i записано k_i чисел, сумма S_i. Условие: при i 2 k_i < k_(i-1) и S_i > S_(i-1). Числа — натуральные, меньше 6 (т.е. 1, 2, 3, 4, 5). а) Может ли n быть больше 5? Пример для n = 5: k_i: 6, 5, 4, 3, 2; S_i: 6, 7, 8, 9, 10. Конкретно: день 1: 1, 1, 1, 1, 1, 1 (сумма 6); день 2: 1, 1, 1, 1, 3 (сумма 7); день 3: 1, 1, 1, 5 (сумма 8); день 4: 2, 3, 4 (сумма 9); день 5: 5, 5 (сумма 10). Условия выполнены. Можно построить примеры и для больших n, например, n = 10: k_i: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; S_i: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. (достижимо подбором чисел). Значит, n может быть больше 5. б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? Пример: n = 3, k_1 = 1000, S_1 = 2900 (среднее арифметическое в первый день (2900)/(1000) = 2,9 < 3); k_2 = 999, S_2 = 4980; k_3 = 998, S_3 = 4981. Общая сумма: 2900 + 4980 + 4981 = 12861, общее количество: 1000 + 999 + 998 = 2997. Среднее арифметическое всех чисел: (12861)/(2997)~ 4,29 > 4. Условия выполнены. в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни? Дано S_1 = 6. Максимизируем общую сумму S. Возможные k_1: от 2 до 6 (так как сумма 6 из чисел 1–5). При k_1 = 6 (все единицы) можно построить цепочку с n = 4: k_1 = 6, k_2 = 5, k_3 = 4, k_4 = 3; S_1 = 6, S_2 = 13, S_3 = 14, S_4 = 15. Пример: день 1: 1, 1, 1, 1, 1, 1; день 2: 5, 5, 1, 1, 1; день 3: 5, 5, 2, 2; день 4: 5, 5, 5. Сумма всех чисел: 6 + 13 + 14 + 15 = 48. Это наибольшее значение, так как при k_1 < 6 цепочки короче или суммы меньше. Ответ: 48.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } да}\) \(\text{в) }48\)