Задача №15447

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $107\text{?}$

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $289\text{?}$

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $3986\text{?}$

а) Рассмотрим числа 4, 9, 94. Они состоят только из цифр 4 и 9, все различны, их сумма равна $4+9+94=107\text{.}$ Значит, такая сумма возможна.

б) Заметим, что любое число, в записи которого только цифры 4 и 9, при делении на 5 дает остаток 4 (поскольку последняя цифра либо 4, либо 9, а $10\equiv 0(\mathrm{mod}5)$). Поэтому сумма $k$ таких чисел дает остаток $4k$ при делении на 5. Число $289$ при делении на 5 дает остаток 4 ($289=5\cdot 57+4$). Тогда $4k\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{,}$ откуда $k\equiv 1(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Таким образом, количество чисел может быть 1, 6, 11, …

Если $k=1\text{,}$ то само число должно быть равно 289, но 289 не состоит только из цифр 4 и 9.

Если $k=6\text{,}$ то сумма шести наименьших допустимых чисел $4,9,44,49,94,99$ равна

$$4+9+44+49+94+99=299>289.$$

Любая замена одного из этих чисел на большее увеличит сумму, поэтому сумма любых шести различных чисел не меньше 299 и не может равняться 289. Для $k\ge 11$ сумма будет еще больше. Следовательно, не существует набора чисел, удовлетворяющего условию.

в) Как и в

б), каждое число $\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{,}$ поэтому сумма $n$ чисел $\equiv 4n(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Число $3986$ при делении на 5 дает остаток 1 ($3986=5\cdot 797+1$). Значит, $4n\equiv 1(\mathrm{mod}5)\text{,}$ откуда $n\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{.}$ То есть $n$ может быть 4, 9, 14, …

Покажем, что $n$ не может быть 4. Сумма четырех наибольших чисел, состоящих из цифр 4 и 9 и не превосходящих 3986, равна $999+994+949+944=3886<3986\text{.}$ Любые четыре числа не превосходят этой суммы, поэтому их сумма меньше 3986. Следовательно, $n\ge 9\text{.}$

Приведем пример для $n=9\text{:}$ числа $999,994,499,494,449,444,94,9,4\text{.}$ Они все различны, состоят только из цифр 4 и 9, их сумма равна

$$999+994+499+494+449+444+94+9+4=3986.$$

Таким образом, наименьшее возможное количество чисел равно 9.

Ответ:
а) да

б) нет

в) $9$