а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289? в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

а) Рассмотрим числа 4, 9, 94. Они состоят только из цифр 4 и 9, все различны, их сумма равна 4+9+94=107. Значит, такая сумма возможна. б) Заметим, что любое число, в записи которого только цифры 4 и 9, при делении на 5 дает остаток 4 (поскольку последняя цифра либо 4, либо 9, а 10=== 0+- od5). Поэтому сумма k таких чисел дает остаток 4k при делении на 5. Число 289 при делении на 5 дает остаток 4 (289=5* 57+4). Тогда 4k=== 4+- od5, откуда k=== 1+- od5. Таким образом, количество чисел может быть 1, 6, 11, … Если k=1, то само число должно быть равно 289, но 289 не состоит только из цифр 4 и 9. Если k=6, то сумма шести наименьших допустимых чисел 4, 9, 44, 49, 94, 99 равна 4+9+44+49+94+99 = 299 > 289. Любая замена одного из этих чисел на большее увеличит сумму, поэтому сумма любых шести различных чисел не меньше 299 и не может равняться 289. Для k>= 11 сумма будет еще больше. Следовательно, не существует набора чисел, удовлетворяющего условию. в) Как и в б), каждое число === 4+- od5, поэтому сумма n чисел === 4n+- od5. Число 3986 при делении на 5 дает остаток 1 (3986=5* 797+1). Значит, 4n=== 1+- od5, откуда n=== 4+- od5. То есть n может быть 4, 9, 14, … Покажем, что n не может быть 4. Сумма четырех наибольших чисел, состоящих из цифр 4 и 9 и не превосходящих 3986, равна 999+994+949+944=3886<3986. Любые четыре числа не превосходят этой суммы, поэтому их сумма меньше 3986. Следовательно, n>= 9. Приведем пример для n=9: числа 999, 994, 499, 494, 449, 444, 94, 9, 4. Они все различны, состоят только из цифр 4 и 9, их сумма равна 999+994+499+494+449+444+94+9+4 = 3986. Таким образом, наименьшее возможное количество чисел равно 9. Ответ: а) да б) нет в) 9

а) да б) нет в) 9