На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120. а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

а) Предположим, что число 230 есть на доске. Тогда остальные 99 чисел — различные натуральные. Минимальная сумма 99 различных натуральных чисел достигается при наборе 1, 2, , 99 и равна 4950. Тогда общая сумма будет не менее 4950 + 230 = 5180 > 5120. Любая другая комбинация даст ещё большую сумму. Следовательно, число 230 быть не может. б) Предположим, что числа 14 нет на доске. Минимальная сумма 100 различных натуральных чисел без 14 достигается при наборе: 1, , 13, 15, , 101. Сумма чисел от 1 до 13 равна 91, сумма чисел от 15 до 101 (87 чисел) равна 5046. Общая сумма 91 + 5046 = 5137 > 5120. Любая другая комбинация без 14 даст сумму не меньше этой. Следовательно, без числа 14 обойтись нельзя. в) Рассмотрим минимальный набор 1, , 100 с суммой 5050. Чтобы получить сумму 5120, нужно увеличить сумму на 70, заменяя некоторые числа на большие. Заметим, что результат операции не зависит от цифры единиц c. Числа, кратные 14, в наборе от 1 до 100: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 — 7 чисел. Замена одного такого числа на число >100 уменьшает количество кратных 14 на 1 и увеличивает сумму. Чтобы минимизировать количество кратных 14, нужно заменять их, но прирост суммы должен быть в точности 70. Минимальный прирост при замене трёх наибольших кратных 14 (98, 84, 70) на наименьшие возможные числа >101, 102, 103 составляет 3 + 18 + 33 = 54. Тогда остаётся увеличить сумму ещё на 16, что можно сделать заменой некоторых не кратных 14 (например, 100 на 116). При этом количество кратных 14 станет 4. Покажем, что получить 3 кратных 14 невозможно. Если бы их было 3, то мы заменили бы 4 кратных 14. Минимальный прирост при замене четырёх наибольших кратных 14 (98, 84, 70, 56) даже на наименьшие числа >100 составит 3 + 18 + 33 + 48 = 102 > 70, что приведёт к превышению суммы. Следовательно, наименьшее количество кратных 14 равно 4. Конкретный пример: набор 1, , 100 с заменами 98 101, 84 102, 70 103, 100 116. Сумма: 5050 + (3 + 18 + 33 + 16) = 5120, кратные 14: 14, 28, 42, 56 (4 числа). Ответ: а) Нет, не может. б) Нет, не может. в) 4.

а) нет б) нет в) 4