Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t^2 тыс. рублей в конце года t ( t = 1; 2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Пусть продажа происходит в конце года k (1 k 20). Сумма к концу 20-го года: f(k) = k^2* (1+r)^(20-k). Обозначим q = 1+r > 1. Условие максимума при k=9 (строго): f(9) > f(8) и f(9) > f(10). Рассмотрим отношения: (f(k+1))/(f(k)) = ((k+1)^2)/(k^2)* q^(-1) = ((1+1k)^2)/(q) Условие f(9) > f(10) даёт ((1+19)^2)/(q) < 1=> q > ((10)/(9))^2 = (100)/(81). Условие f(9) > f(8) даёт (f(9))/(f(8)) > 1=>((1+18)^2)/(q) > 1=> q < ((9)/(8))^2 = (81)/(64). Таким образом: (100)/(81) < q < (81)/(64) Поскольку r = q-1, получаем: (100)/(81) - 1 < r < (81)/(64) - 1 (19)/(81) < r < (17)/(64) Ответ: (19)/(81) < r < (17)/(64).

\(19/81<r<17/64\)