Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a имеет ровно 3 решения.

Уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a. Возводим в квадрат при условиях x^2 + 2x - 3a 0 и x^4 - 4x^2 + 9a^2 0 (последнее автоматически выполняется после возведения). Получаем: x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2. Раскрываем и упрощаем: -4x^3 + (6a - 8)x^2 + 12ax = 0 => 4x^3 - (6a - 8)x^2 - 12ax = 0 => x(4x^2 + (8 - 6a)x - 12a) = 0. Отсюда x = 0 или 4x^2 + (8 - 6a)x - 12a = 0. Дискриминант квадратного уравнения: D = (8 - 6a)^2 + 192a = 36a^2 + 96a + 64 = (6a + 8)^2. Корни квадратного уравнения: x_1 = (3a)/(2), x_2 = -2. При a!= -(4)/(3) корни различны; при a = -(4)/(3) они совпадают (x_1 = x_2 = -2). Проверяем условие x^2 + 2x - 3a 0 для каждого корня: - Для x = 0: -3a 0=> a 0. - Для x = -2: 4 - 4 - 3a = -3a 0=> a 0. - Для x = (3a)/(2): (9a^2)/(4) + 3a - 3a = (9a^2)/(4) 0 — выполняется всегда, причём равенство только при a = 0. Чтобы исходное уравнение имело ровно три решения, все три корня должны быть различны и удовлетворять условию. Это возможно при a < 0, a!= -(4)/(3) и a!= 0 (при a = 0 корни 0 и (3a)/(2) совпадают; при a = -(4)/(3) корни -2 и (3a)/(2) совпадают). В этих случаях три различных решения: 0, -2, (3a)/(2).

\(a\in (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0)\)