Задача №15442

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$$

имеет ровно 3 решения.

Уравнение $\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a\text{.}$ Возводим в квадрат при условиях $x^2+2x-3a⩾0$ и $x^4-4x^2+9a^2⩾0$ (последнее автоматически выполняется после возведения). Получаем:

$$x^4-4x^2+9a^2=(x^2+2x-3a{)}^2.$$

Раскрываем и упрощаем:

$$-4x^3+(6a-8)x^2+12ax=0\Rightarrow 4x^3-(6a-8)x^2-12ax=0\Rightarrow x(4x^2+(8-6a)x-12a)=0.$$

Отсюда $x=0$ или $4x^2+(8-6a)x-12a=0\text{.}$ Дискриминант квадратного уравнения:

$$D=(8-6a{)}^2+192a=36a^2+96a+64=(6a+8{)}^2.$$

Корни квадратного уравнения: $x_1=\frac{3a}{2}\text{,}$ $x_2=-2\text{.}$
При $a\ne -\frac{4}{3}$ корни различны; при $a=-\frac{4}{3}$ они совпадают ($x_1=x_2=-2$).

Проверяем условие $x^2+2x-3a⩾0$ для каждого корня:

• Для $x=0\text{:}$ $-3a⩾0\Rightarrow a⩽0\text{.}$
• Для $x=-2\text{:}$ $4-4-3a=-3a⩾0\Rightarrow a⩽0\text{.}$
• Для $x=\frac{3a}{2}\text{:}$ $\frac{9a^2}{4}+3a-3a=\frac{9a^2}{4}⩾0$ — выполняется всегда, причём равенство только при $a=0\text{.}$

Чтобы исходное уравнение имело ровно три решения, все три корня должны быть различны и удовлетворять условию. Это возможно при $a<0\text{,}$ $a\ne -\frac{4}{3}$ и $a\ne 0$ (при $a=0$ корни $0$ и $\frac{3a}{2}$ совпадают; при $a=-\frac{4}{3}$ корни $-2$ и $\frac{3a}{2}$ совпадают). В этих случаях три различных решения: $0\text{,}$ $-2\text{,}$ $\frac{3a}{2}\text{.}$