Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
∣x2+a2−6x−4a∣=2x+2aимеет четыре различных корня.
Уравнение ∣x2+a2−6x−4a∣=2x+2a равносильно совокупности:
{x2−8x+a2−6a=0,x≥−aили{x2−4x+a2−2a=0,x≥−aДискриминанты: D1=−4(a−8)(a+2), D2=−4(a2−2a−4).
Для четырёх различных корней нужно D1>0 и D2>0, откуда a∈(1−5;1+5) (так как 1−5≈−1,236, 1+5≈3,236).
Корни первого уравнения: x1,2=4±16−a2+6a, второго: x3,4=2±4−a2+2a.
Условие x≥−a для меньших корней даёт неравенства:
4−16−a2+6a≥−a и 2−4−a2+2a≥−a.
Оба сводятся к a(a+1)≥0, следовательно a≤−1 или a≥0.
Учитывая интервал существования, получаем a∈(1−5;−1)∪(0;1+5).
При a=0 и a=−1 уравнения имеют общий корень x=−a, что даёт только три различных корня. Граничные a=1±5 не входят, так как тогда один из дискриминантов нулевой.
Ответ: a∈(1−5;−1)∪(0;1+5).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ