Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x^2 + a^2 - 6x - 4a| = 2x + 2a имеет четыре различных корня.

Уравнение |x^2 + a^2 - 6x - 4a| = 2x + 2a равносильно совокупности: cases x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0, x>= -a cases или cases x^2 - 4x + a^2 - 2a = 0, x>= -a cases Дискриминанты: D_1 = -4(a-8)(a+2), D_2 = -4(a^2 - 2a - 4). Для четырёх различных корней нужно D_1 > 0 и D_2 > 0, откуда ain (1-sqrt(5);1+sqrt(5)) (так как 1-sqrt(5)~ -1,236, 1+sqrt(5)~ 3,236). Корни первого уравнения: x_(1,2)=4+-sqrt(16 - a^2 + 6a), второго: x_(3,4)=2+-sqrt(4 - a^2 + 2a). Условие x>= -a для меньших корней даёт неравенства: 4 - sqrt(16 - a^2 + 6a)>= -a и 2 - sqrt(4 - a^2 + 2a)>= -a. Оба сводятся к a(a+1) >= 0, следовательно a<= -1 или a>= 0. Учитывая интервал существования, получаем ain (1-sqrt(5); -1) U (0; 1+sqrt(5)). При a=0 и a=-1 уравнения имеют общий корень x=-a, что даёт только три различных корня. Граничные a=1+-sqrt(5) не входят, так как тогда один из дискриминантов нулевой. Ответ: ain (1-sqrt(5); -1) U (0; 1+sqrt(5)).

\(a\in (1-\sqrt{5}, -1) \cup (0, 1+\sqrt{5})\)