Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (xy - 2x + 12) *sqrt(y - 2x + 12) = 0 [2pt] y = 3x + a cases имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение равносильно совокупности: 1) y - 2x + 12 = 0 2) xy - 2x + 12 = 0 при условии y - 2x + 12 0. Система 1) с y = 3x + a всегда даёт одно решение M_1. Система 2) приводит к уравнению 3x^2 + (a-2)x + 12 = 0 с условием f(x) = x + a + 12 0. Дискриминант D = (a-14)(a+10). Действительные корни существуют при a -10 или a 14. Исследуем количество решений. При a < -18: оба корня имеют f(x) < 0, система 2) не имеет решений, итого 1. При a = -18: один корень совпадает с M_1, другой имеет f < 0, итого 1. При -18 < a < -13: произведение f(x_1)f(x_2) < 0, система 2) даёт одно решение (второй корень отбрасывается), отличное от M_1, итого 2. При a = -13: система 2) даёт два корня, один совпадает с M_1, другой имеет f > 0, итого 2. При -13 < a < -10: оба корня имеют f > 0, система 2) даёт два решения, итого 3. При a = -10: система 2) имеет один корень с f > 0, отличный от M_1, итого 2. При -10 < a < 14: система 2) не имеет действительных корней, итого 1. При a = 14: система 2) имеет один корень с f > 0, отличный от M_1, итого 2. При a > 14: система 2) даёт два решения с f > 0, итого 3. Ответ: ain (-18, -13] U -10U 14.

\(a\in (-18, -13] \cup \{-10, 14\}\)