Задача №15440

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(xy-2x+12)\cdot \sqrt{y-2x+12}=0\\ y=3x+a\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение равносильно совокупности:

1) $y-2x+12=0$

2) $xy-2x+12=0$ при условии $y-2x+12⩾0\text{.}$

Система 1) с $y=3x+a$ всегда даёт одно решение $M_1\text{.}$

Система 2) приводит к уравнению

$$3x^2+(a-2)x+12=0$$

с условием $f(x)=x+a+12⩾0\text{.}$

Дискриминант $D=(a-14)(a+10)\text{.}$ Действительные корни существуют при $a⩽-10$ или $a⩾14\text{.}$

Исследуем количество решений.

При $a<-18\text{:}$ оба корня имеют $f(x)<0\text{,}$ система 2) не имеет решений, итого 1.

При $a=-18\text{:}$ один корень совпадает с $M_1\text{,}$ другой имеет $f<0\text{,}$ итого 1.

При $-18<a<-13\text{:}$ произведение $f(x_1)f(x_2)<0\text{,}$ система 2) даёт одно решение (второй корень отбрасывается), отличное от $M_1\text{,}$ итого 2.

При $a=-13\text{:}$ система 2) даёт два корня, один совпадает с $M_1\text{,}$ другой имеет $f>0\text{,}$ итого 2.

При $-13<a<-10\text{:}$ оба корня имеют $f>0\text{,}$ система 2) даёт два решения, итого 3.

При $a=-10\text{:}$ система 2) имеет один корень с $f>0\text{,}$ отличный от $M_1\text{,}$ итого 2.

При $-10<a<14\text{:}$ система 2) не имеет действительных корней, итого 1.

При $a=14\text{:}$ система 2) имеет один корень с $f>0\text{,}$ отличный от $M_1\text{,}$ итого 2.

При $a>14\text{:}$ система 2) даёт два решения с $f>0\text{,}$ итого 3.

Ответ: $a\in (-18,-13]\cup \{-10\}\cup \{14\}\text{.}$