Задача №15438

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9|x|=0$$

имеет меньше четырёх различных корней.

Раскрываем модуль:

1. При $x⩾0$ ($|x|=x$): $2x^2-(a+6)x-(a^2-6a)=0\text{.}$
Дискриминант $D_1=9(a-2{)}^2\text{,}$ корни $x=a$ и $x=3-\frac{a}{2}\text{.}$ Учитываем $x⩾0\text{.}$

2. При $x<0$ ($|x|=-x$): $2x^2-(a-12)x-(a^2-6a)=0\text{.}$
Дискриминант $D_2=9(a-4{)}^2\text{,}$ корни $x=a-6$ и $x=-\frac{a}{2}\text{.}$ Учитываем $x<0\text{.}$

Корень $x=0$ появляется при $a=0$ или $a=6\text{.}$

Анализируем количество различных корней в зависимости от $a\text{:}$

• При $a<0\text{:}$ из первого уравнения один положительный корень, из второго — один отрицательный, всего два.
• При $a=0\text{:}$ корни $3\text{,}$ $0\text{,}$ $-6$ — три.
• При $0<a<2\text{:}$ два положительных и два отрицательных корня — четыре.
• При $a=2\text{:}$ корень $2$ (кратный), $-1\text{,}$ $-4$ — три.
• При $2<a<4\text{:}$ два положительных и два отрицательных — четыре.
• При $a=4\text{:}$ корни $4\text{,}$ $1\text{,}$ $-2$ (кратный) — три.
• При $4<a<6\text{:}$ два положительных и два отрицательных — четыре.
• При $a=6\text{:}$ корни $6\text{,}$ $0\text{,}$ $-3$ — три.
• При $a>6\text{:}$ один положительный и один отрицательный — два.

Ответ: $a\in (-\infty ;0]\cup \{2\}\cup \{4\}\cup [6;+\infty )\text{.}$