Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (|x-a-1| + |x-a+1|)^2 + a(|x-a-1| + |x-a+1|) + a^2 - 16 = 0 имеет ровно два различных корня.

Сделаем замену: t = |x-a-1| + |x-a+1| . Заметим, что t 2 , причём t=2 достигается на отрезке [a-1; a+1], а при t > 2 уравнение t = |x-a-1| + |x-a+1| имеет ровно два решения. Исходное уравнение принимает вид: t^2 + at + a^2 - 16 = 0. Квадратное уравнение относительно t . Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x , необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение имело ровно один корень t > 2 , а другой корень был либо меньше 2, либо отсутствовал (при условии t 2 ). 1. Дискриминант: D = a^2 - 4(a^2 - 16) = -3a^2 + 64 . 2. Рассмотрим условие, когда ровно один корень больше 2, а другой меньше 2. Для параболы f(t)=t^2+at+a^2-16 с ветвями вверх это условие эквивалентно f(2) < 0 : 4 + 2a + a^2 - 16 < 0=> a^2 + 2a - 12 < 0=> ain (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)). При этом автоматически D > 0 . 3. Отдельно рассмотрим случай D=0 : a = +-(8)/(sqrt(3)) . - При a = (8)/(sqrt(3)) корень t = -(a)/(2) < 0 — не подходит. - При a = -(8)/(sqrt(3)) корень t = -(a)/(2) = (4)/(sqrt(3))~ 2.309 > 2 — даёт ровно два решения x . 4. Проверим границы a = -1+-sqrt(13) . При этих значениях f(2)=0 , т.е. один корень равен 2, что даёт бесконечно много решений x . Таким образом, объединяя, получаем ответ. Ответ: ain (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) U -(8)/(sqrt(3)) .

\( a = -\dfrac{8}{\sqrt{3}} \text{ или } -1-\sqrt{13} < a < -1+\sqrt{13} .\)