Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(∣x−a−1∣+∣x−a+1∣)2+a(∣x−a−1∣+∣x−a+1∣)+a2−16=0имеет ровно два различных корня.
Сделаем замену: t=∣x−a−1∣+∣x−a+1∣. Заметим, что t⩾2, причём t=2 достигается на отрезке [a−1;a+1], а при t>2 уравнение t=∣x−a−1∣+∣x−a+1∣ имеет ровно два решения.
Исходное уравнение принимает вид:
t2+at+a2−16=0.Квадратное уравнение относительно t. Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение имело ровно один корень t>2, а другой корень был либо меньше 2, либо отсутствовал (при условии t⩾2).
1. Дискриминант: D=a2−4(a2−16)=−3a2+64.
2. Рассмотрим условие, когда ровно один корень больше 2, а другой меньше 2. Для параболы f(t)=t2+at+a2−16 с ветвями вверх это условие эквивалентно f(2)<0:
4+2a+a2−16<0⇒a2+2a−12<0⇒a∈(−1−13;−1+13).При этом автоматически D>0.
3. Отдельно рассмотрим случай D=0: a=±38.
4. Проверим границы a=−1±13. При этих значениях f(2)=0, т.е. один корень равен 2, что даёт бесконечно много решений x.
Таким образом, объединяя, получаем ответ.
Ответ: a∈(−1−13;−1+13)∪{−38}.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ