Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x−1⋅ln(4x−a)=2x−1⋅ln(5x+a)имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Уравнение:
2x−1⋅ln(4x−a)=2x−1⋅ln(5x+a).Перенесем все в одну сторону:
2x−1[ln(4x−a)−ln(5x+a)]=0.Отсюда получаем два случая:
1. 2x−1=0, откуда
x=21.2. ln(4x−a)=ln(5x+a), что равносильно
4x−a=5x+a⇒x=−2a.ОДЗ:
2x−1⩾0⇒x⩾21,а также 4x−a>0 и 5x+a>0.
Корень x=21 существует при выполнении условий ОДЗ:
4⋅21−a>0⇒a<2, 5⋅21+a>0⇒a>−25.Таким образом, для корня x=21 имеем a∈(−25;2).
Корень x=−2a существует при условиях:
x⩾21⇒−2a⩾21⇒a⩽−41, 4(−2a)−a=−9a>0⇒a<0, 5(−2a)+a=−9a>0⇒a<0.Объединяя: a⩽−41.
Корень x=−2a лежит в отрезке [0;1] (с учётом x⩾21) при:
21⩽−2a⩽1⇒−21⩽a⩽−41.Теперь определим, когда на отрезке [0;1] ровно один корень. Заметим, что поскольку x⩾21, фактически отрезок сужается до [21;1].
Корень x=21 всегда лежит в этом отрезке и существует при a∈(−25;2).
Корень x=−2a лежит в отрезке при a∈[−21;−41].
Ровно один корень на отрезке будет в следующих случаях:
Если корень x=−2a не лежит в отрезке, а корень x=21 существует. Это происходит при a∈(−25;−21)∪(−41;2). При a=2 корень x=21 не существует.
Если корни совпадают, то есть при a=−41, тогда один корень x=21.
При a∈[−21;−41] оба корня лежат в отрезке, поэтому два корня.
При a⩽−25 или a⩾2 корней на отрезке нет.
Объединяя условия для одного корня, получаем:
a∈(−25;−21)∪[−41;2).Ответ: a∈(−25;−21)∪[−41;2).