Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(2x-1)*ln(4x-a) = sqrt(2x-1)*ln(5x+a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Уравнение: sqrt(2x-1)*ln(4x-a) = sqrt(2x-1)*ln(5x+a). Перенесем все в одну сторону: sqrt(2x-1)[ ln(4x-a) - ln(5x+a) ] = 0. Отсюда получаем два случая: 1. sqrt(2x-1) = 0 , откуда x = (1)/(2). 2. ln(4x-a) = ln(5x+a) , что равносильно 4x - a = 5x + a => x = -2a. ОДЗ: 2x-1 0 => x (1)/(2), а также 4x - a > 0 и 5x + a > 0 . Корень x = (1)/(2) существует при выполнении условий ОДЗ: 4*(1)/(2) - a > 0 => a < 2, 5*(1)/(2) + a > 0 => a > -(5)/(2). Таким образом, для корня x = (1)/(2) имеем ain( -(5)/(2); 2) . Корень x = -2a существует при условиях: x (1)/(2) => -2a (1)/(2) => a -(1)/(4), 4(-2a) - a = -9a > 0 => a < 0, 5(-2a) + a = -9a > 0 => a < 0. Объединяя: a -(1)/(4) . Корень x = -2a лежит в отрезке [0; 1] (с учётом x (1)/(2) ) при: (1)/(2) -2a 1 => -(1)/(2) a -(1)/(4). Теперь определим, когда на отрезке [0; 1] ровно один корень. Заметим, что поскольку x (1)/(2) , фактически отрезок сужается до [ (1)/(2); 1] . Корень x = (1)/(2) всегда лежит в этом отрезке и существует при ain( -(5)/(2); 2) . Корень x = -2a лежит в отрезке при ain[ -(1)/(2); -(1)/(4)] . Ровно один корень на отрезке будет в следующих случаях: - Если корень x = -2a не лежит в отрезке, а корень x = (1)/(2) существует. Это происходит при ain( -(5)/(2); -(1)/(2)) U( -(1)/(4); 2) . При a = 2 корень x = (1)/(2) не существует. - Если корни совпадают, то есть при a = -(1)/(4) , тогда один корень x = (1)/(2) . При ain[ -(1)/(2); -(1)/(4)] оба корня лежат в отрезке, поэтому два корня. При a -(5)/(2) или a 2 корней на отрезке нет. Объединяя условия для одного корня, получаем: ain( -(5)/(2); -(1)/(2)) U[ -(1)/(4); 2). Ответ: ain( -(5)/(2); -(1)/(2)) U[ -(1)/(4); 2) .

\(a\in\left(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \cup\left[-\dfrac{1}{4}, 2\right)\)