Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (9x^2 - a^2)/(x^2 + 8x + 16 - a^2) = 0 имеет ровно два различных корня.

Уравнение (9x^2 - a^2)/(x^2 + 8x + 16 - a^2) = 0 равносильно системе: 9x^2 - a^2 = 0, x^2 + 8x + 16 - a^2!= 0. Из числителя: 9x^2 = a^2=> x = +-(a)/(3). Эти корни различны при a!= 0. Знаменатель: x^2 + 8x + 16 - a^2 = 0. Дискриминант: D = 64 - 4(16 - a^2) = 4a^2, корни x = -4+- a. Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, нужно, чтобы оба корня числителя не совпадали с корнями знаменателя. Проверим условия совпадения: 1. (a)/(3) = -4 + a=> a = 6 2. (a)/(3) = -4 - a=> a = -3 3. -(a)/(3) = -4 + a=> a = 3 4. -(a)/(3) = -4 - a=> a = -6 При a = +- 3, +- 6 один из корней числителя обращает знаменатель в нуль, остаётся только один корень. При a = 0 корни числителя совпадают, получаем один корень (кратный). Во всех остальных случаях оба корня числителя являются корнями исходного уравнения, и они различны. Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при всех a, кроме 0, +- 3, +- 6. Ответ: все a, кроме 0, +- 3, +- 6.

\(a\in (-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)\)