Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2+8x+16−a29x2−a2=0имеет ровно два различных корня.
Уравнение x2+8x+16−a29x2−a2=0 равносильно системе:
9x2−a2=0,x2+8x+16−a2=0.Из числителя: 9x2=a2⇒x=±3a. Эти корни различны при a=0.
Знаменатель: x2+8x+16−a2=0. Дискриминант: D=64−4(16−a2)=4a2, корни x=−4±a.
Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, нужно, чтобы оба корня числителя не совпадали с корнями знаменателя. Проверим условия совпадения:
1. 3a=−4+a⇒a=6
2. 3a=−4−a⇒a=−3
3. −3a=−4+a⇒a=3
4. −3a=−4−a⇒a=−6
При a=±3,±6 один из корней числителя обращает знаменатель в нуль, остаётся только один корень. При a=0 корни числителя совпадают, получаем один корень (кратный). Во всех остальных случаях оба корня числителя являются корнями исходного уравнения, и они различны.
Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при всех a, кроме 0,±3,±6.
Ответ: все a, кроме 0,±3,±6.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ