Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (x^2 + y^2 + 4x) *sqrt(2x + y + 6) = 0 [2pt] y = ax - 2a cases имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение: (x^2+y^2+4x) sqrt(2x+y+6)=0 задаёт объединение окружности (x+2)^2+y^2=4 (где 2x+y+6 0 ) и прямой 2x+y+6=0 . Второе уравнение: y=ax-2a — пучок прямых через точку (2; 0) . Найдём пересечение прямой с окружностью. Подстановка y=ax-2a в уравнение окружности даёт квадратное уравнение относительно x . Его дискриминант D=16(1-3a^2) . При |a|<(1)/(sqrt(3)) два пересечения, при |a|=(1)/(sqrt(3)) касание, при |a|>(1)/(sqrt(3)) нет пересечений. Пересечение с прямой 2x+y+6=0 : одна точка K((2a-6)/(a+2); -(10a)/(a+2)) (кроме a=-2 ). Точки A(-2; -2) и B(-3,6; 1,2) — это пересечения окружности и прямой 2x+y+6=0 . Прямая y=ax-2a проходит через A при a=0,5 и через B при a=-(3)/(14) . Учитывая условие 2x+y+6 0 на окружности, общее число решений системы: - При ain[-(3)/(14); 0,5] одно пересечение с окружностью лежит в допустимой области, второе нет, а точка K даёт ещё одно решение (или совпадает с границей), итого 2 решения. - При a=+-(1)/(sqrt(3)) касание окружности (точка в допустимой области) и точка K дают 2 решения. В остальных случаях получается 1, 3 или бесконечно много решений.

\(a\in\left[-\dfrac{3}{14}; 0.5\right] \cup\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\}\)