Задача №15431

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2+y^2+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0\\ y=ax-2a\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Первое уравнение: $(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0$ задаёт объединение окружности $(x+2{)}^2+y^2=4$ (где $2x+y+6⩾0$) и прямой $2x+y+6=0\text{.}$

Второе уравнение: $y=ax-2a$ — пучок прямых через точку $(2;0)\text{.}$

Найдём пересечение прямой с окружностью. Подстановка $y=ax-2a$ в уравнение окружности даёт квадратное уравнение относительно $x\text{.}$ Его дискриминант $D=16(1-3a^2)\text{.}$ При $|a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$ два пересечения, при $|a|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ касание, при $|a|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ нет пересечений.

Пересечение с прямой $2x+y+6=0\text{:}$ одна точка $K\left(\frac{2a-6}{a+2};-\frac{10a}{a+2}\right)$ (кроме $a=-2$).

Точки $A(-2;-2)$ и $B(-3,6;1,2)$ — это пересечения окружности и прямой $2x+y+6=0\text{.}$ Прямая $y=ax-2a$ проходит через $A$ при $a=0,5$ и через $B$ при $a=-\frac{3}{14}\text{.}$

Учитывая условие $2x+y+6⩾0$ на окружности, общее число решений системы:

• При $a\in \left[-\frac{3}{14};0,5\right]$ одно пересечение с окружностью лежит в допустимой области, второе нет, а точка $K$ даёт ещё одно решение (или совпадает с границей), итого 2 решения.

• При $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ касание окружности (точка в допустимой области) и точка $K$ дают 2 решения.

В остальных случаях получается 1, 3 или бесконечно много решений.