Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (x^2 - 5x - y + 3) *sqrt(x - y + 3) = 0 [2pt] y = 3x + a cases имеет ровно два различных решения.

Подставим y=3x+a в первое уравнение. Подкоренное выражение x-y+3=x-(3x+a)+3=-2x-a+3, поэтому требуется -2x-a+3 0, то есть x (3-a)/(2). Первое уравнение принимает вид (x^2-5x-(3x+a)+3)sqrt(-2x-a+3)=0 то есть (x^2-8x-a+3)sqrt(-2x-a+3)=0. Отсюда (при условии -2x-a+3 0) получаем совокупность случаев. **1) sqrt(-2x-a+3)=0.** Тогда -2x-a+3=0=> x_0=(3-a)/(2), y_0=3x_0+a=(9-a)/(2). Это решение существует при любом a. **2) x^2-8x-a+3=0.** Дискриминант D=64-4(-a+3)=4(a+13). Корни существуют при a -13 и равны x_(1,2)=4+-sqrt(a+13). Они дают решения системы тогда и только тогда, когда выполняется условие области определения: x_(1,2) (3-a)/(2). **Когда подходят оба корня?** Достаточно потребовать 4+sqrt(a+13) (3-a)/(2). Получаем 8+2sqrt(a+13) 3-a=> 2sqrt(a+13) -a-5. Отсюда a -5, и после возведения в квадрат: 4(a+13) (a+5)^2=> a^2+6a-27 0=> a -9 или a 3. С учётом a -5 получаем условие a -9. Также нужно a -13. Значит, оба корня подходят при -13 a -9. При -13<a<-9 это даёт 2 решения из пункта 2) и ещё 1 решение из пункта 1), итого 3 решения — не подходит. Отдельно: - при a=-13: в пункте 2) один корень x=4, и вместе с решением пункта 1) получается ровно 2 различных решения; - при a=-9: корни пункта 2) равны 2 и 6, а в пункте 1) x_0=6, то есть одно решение совпадает, всего 2 различных решения. **Когда подходит ровно один корень?** Для a>-9 корень x_2 уже не удовлетворяет ограничению x (3-a)/(2), а корень x_1 удовлетворяет ему при всех a 3 (при a>3 не удовлетворяет ни один корень). Поэтому при -9<a<3 из пункта 2) получаем ровно одно решение, и вместе с решением пункта 1) — ровно два различных решения. При a=3 решения из пунктов 1) и 2) совпадают (получается только одно решени е), а при a>3 и при a<-13 решений всего одно. Ответ: ain-13U[-9,3).

\(a\in\{-13\}\cup[-9,3)\)