Задача №15429

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2-5x-y+3)\cdot \sqrt{x-y+3}=0\\ y=3x+a\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Подставим $y=3x+a$ в первое уравнение. Подкоренное выражение

$$x-y+3=x-(3x+a)+3=-2x-a+3,$$

поэтому требуется $-2x-a+3⩾0\text{,}$ то есть

$$x⩽\frac{3-a}{2}.$$

Первое уравнение принимает вид

$$(x^2-5x-(3x+a)+3)\sqrt{-2x-a+3}=0$$

то есть

$$(x^2-8x-a+3)\sqrt{-2x-a+3}=0.$$

Отсюда (при условии $-2x-a+3⩾0$) получаем совокупность случаев.

1) $\sqrt{-2x-a+3}=0\text{.}$
Тогда $-2x-a+3=0\Rightarrow x_0=\frac{3-a}{2}\text{,}$

$$y_0=3x_0+a=\frac{9-a}{2}.$$

Это решение существует при любом $a\text{.}$

2) $x^2-8x-a+3=0\text{.}$
Дискриминант $D=64-4(-a+3)=4(a+13)\text{.}$ Корни существуют при $a⩾-13$ и равны

$$x_{1,2}=4\pm \sqrt{a+13}.$$

Они дают решения системы тогда и только тогда, когда выполняется условие области определения:

$$x_{1,2}⩽\frac{3-a}{2}.$$

Когда подходят оба корня? Достаточно потребовать

$$4+\sqrt{a+13}⩽\frac{3-a}{2}.$$

Получаем

$$8+2\sqrt{a+13}⩽3-a\Rightarrow 2\sqrt{a+13}⩽-a-5.$$

Отсюда $a⩽-5\text{,}$ и после возведения в квадрат:

$$4(a+13)⩽(a+5{)}^2\Rightarrow a^2+6a-27⩾0\Rightarrow a⩽-9\text{ или }a⩾3.$$

С учётом $a⩽-5$ получаем условие $a⩽-9\text{.}$ Также нужно $a⩾-13\text{.}$ Значит, оба корня подходят при

$$-13⩽a⩽-9.$$

При $-13<a<-9$ это даёт 2 решения из пункта 2) и ещё 1 решение из пункта 1), итого 3 решения — не подходит.

Отдельно:

• при $a=-13\text{:}$ в пункте 2) один корень $x=4\text{,}$ и вместе с решением пункта 1) получается ровно 2 различных решения;
• при $a=-9\text{:}$ корни пункта 2) равны $2$ и $6\text{,}$ а в пункте 1) $x_0=6\text{,}$ то есть одно решение совпадает, всего 2 различных решения.

Когда подходит ровно один корень? Для $a>-9$ корень $x_2$ уже не удовлетворяет ограничению $x⩽\frac{3-a}{2}\text{,}$ а корень $x_1$ удовлетворяет ему при всех $a⩽3$ (при $a>3$ не удовлетворяет ни один корень). Поэтому при

$$-9<a<3$$

из пункта 2) получаем ровно одно решение, и вместе с решением пункта 1) — ровно два различных решения.

При $a=3$ решения из пунктов 1) и 2) совпадают (получается только одно решени

е), а при $a>3$ и при $a<-13$ решений всего одно.

Ответ:

$$a\in \{-13\}\cup [-9,3).$$