Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2) имеет единственное решение.

Сделаем замену t = 2^x > 0 . Уравнение принимает вид: t^2 + (a - 8 - 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0. Исходное уравнение имеет единственное решение, когда квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень (второй неположительный или совпадает с положительным). Рассмотрим два случая. 1. a 0 : тогда |a| = a . Дискриминант D = 16(a-1)^2 , корни t = 3a+2 и t = 6-a . Единственный положительный корень при: - a = 1 (корни совпадают, t=5 ), - a = 6 (один корень t=20 , второй t=0 не подходит), - a > 6 ( 3a+2 > 0 , 6-a < 0 ). 2. a < 0 : тогда |a| = -a . Дискриминант D = 4(a+2)^2 , корни t = -a+6 и t = -3a+2 . Оба корня положительны при a < -2 и -2 < a < 0 , давая два решения. Единственный положительный корень при a = -2 (корни совпадают, t=8 ). Ответ: a = -2 , a = 1 , a 6 .

\( a = -2,\; a = 1,\; a\ge 6 \)