Задача №15419

Найдите все значения $a\text{,}$ для каждого из которых уравнение

$$4^x+(a-6)2^x=(2+3|a|)2^x+(a-6)(3|a|+2)$$

имеет единственное решение.

Сделаем замену $t=2^x>0\text{.}$ Уравнение принимает вид:

$$t^2+(a-8-3|a|)t-(a-6)(3|a|+2)=0.$$

Исходное уравнение имеет единственное решение, когда квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень (второй неположительный или совпадает с положительным).

Рассмотрим два случая.

1. $a⩾0\text{:}$ тогда $|a|=a\text{.}$ Дискриминант $D=16(a-1{)}^2\text{,}$ корни $t=3a+2$ и $t=6-a\text{.}$

Единственный положительный корень при:

• $a=1$ (корни совпадают, $t=5$),
• $a=6$ (один корень $t=20\text{,}$ второй $t=0$ не подходит),
• $a>6$ ($3a+2>0\text{,}$ $6-a<0$).

2. $a<0\text{:}$ тогда $|a|=-a\text{.}$ Дискриминант $D=4(a+2{)}^2\text{,}$ корни $t=-a+6$ и $t=-3a+2\text{.}$

Оба корня положительны при $a<-2$ и $-2<a<0\text{,}$ давая два решения.
Единственный положительный корень при $a=-2$ (корни совпадают, $t=8$).

Ответ: $a=-2\text{,}$ $a=1\text{,}$ $a⩾6\text{.}$