Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 16x^2 + 64a^2) = x^2 + 4x - 8a имеет ровно 3 решения.

Исходное уравнение sqrt(x^4 - 16x^2 + 64a^2) = x^2 + 4x - 8a. ОДЗ: x^4 - 16x^2 + 64a^2 0 и x^2+4x-8a 0 (так как левая часть неотрицательна). Возведём в квадрат: x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2+4x-8a)^2. Раскрываем правую часть: (x^2+4x-8a)^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 64a^2 - 16a x^2 - 64ax. После упрощения: -8x^3 - 32x^2 + 16a x^2 + 64ax = 0=> 8x(-x^2 - 4x + 2a x + 8a)=0. Факторизуем: x(x+4)(x-2a)=0. Корни: x=0, x=-4, x=2a. Проверим, когда они удовлетворяют исходному уравнению. - x=0: sqrt(64a^2) = 8|a|, правая часть -8a. Уравнение 8|a| = -8a и условие -8a 0 выполняются при a 0. - x=-4: аналогично, получаем 8|a| = -8a, выполняется при a 0. - x=2a: подстановка даёт тождество 4a^2 = 4a^2 при любом a, условия также выполнены. Таким образом, x=2a — решение всегда; x=0 и x=-4 — только при a 0. Чтобы было ровно 3 решения, нужны три различных корня. Это выполняется при a < 0, если 2a не совпадает с 0 или -4, т.е. при a!= 0 и a!= -2. При a=0: корни 0 и -4 (два). При a=-2: корни -4 и 0 (два). При a>0 только один корень 2a. Итак, ровно три решения при ain (-inf, -2) U (-2, 0).

\(a\in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)\)