Задача №15417

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$$

имеет ровно 3 решения.

Исходное уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a\text{.}$

ОДЗ: $x^4-16x^2+64a^2⩾0$ и $x^2+4x-8a⩾0$ (так как левая часть неотрицательна).

Возведём в квадрат:

$$x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a{)}^2.$$

Раскрываем правую часть:

$$(x^2+4x-8a{)}^2=x^4+8x^3+16x^2+64a^2-16a{x}^2-64ax.$$

После упрощения:

$$-8x^3-32x^2+16a{x}^2+64ax=0\Rightarrow 8x(-x^2-4x+2ax+8a)=0.$$

Факторизуем: $x(x+4)(x-2a)=0\text{.}$

Корни: $x=0\text{,}$ $x=-4\text{,}$ $x=2a\text{.}$

Проверим, когда они удовлетворяют исходному уравнению.

• $x=0\text{:}$ $\sqrt{64a^2}=8|a|\text{,}$ правая часть $-8a\text{.}$ Уравнение $8|a|=-8a$ и условие $-8a⩾0$ выполняются при $a⩽0\text{.}$
• $x=-4\text{:}$ аналогично, получаем $8|a|=-8a\text{,}$ выполняется при $a⩽0\text{.}$
• $x=2a\text{:}$ подстановка даёт тождество $4a^2=4a^2$ при любом $a\text{,}$ условия также выполнены.

Таким образом, $x=2a$ — решение всегда; $x=0$ и $x=-4$ — только при $a⩽0\text{.}$

Чтобы было ровно 3 решения, нужны три различных корня. Это выполняется при $a<0\text{,}$ если $2a$ не совпадает с 0 или $-4\text{,}$ т.е. при $a\ne 0$ и $a\ne -2\text{.}$

При $a=0\text{:}$ корни $0$ и $-4$ (два).

При $a=-2\text{:}$ корни $-4$ и $0$ (два).

При $a>0$ только один корень $2a\text{.}$

Итак, ровно три решения при $a\in (-\infty ,-2)\cup (-2,0)\text{.}$