Задача №15414

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}4x-y+a=0\\ 2|y|-x^2+4x=0\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Из первого уравнения

$$y=4x+a.$$

Подставим во второе:

$$2|4x+a|=x^2-4x=x(x-4).$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$x(x-4)⩾0\Rightarrow x⩽0\text{или}x⩾4.$$

Обозначим $x_0=-\frac{a}{4}$ (точка излома модуля).

1) Случай $4x+a⩾0$ (то есть $x⩾x_0$)
Тогда

$$2(4x+a)=x^2-4x\Rightarrow x^2-12x-2a=0.$$

Корни существуют при $a⩾-18$ и равны

$$x_{1,2}=6\pm \sqrt{36+2a}.$$

При этом:

• корень $x_2=6+\sqrt{36+2a}$ всегда $>6\text{,}$ значит он всегда удовлетворяет $x⩾4$ и при $a⩾-18$ даёт одно решение системы;
• корень $x_1=6-\sqrt{36+2a}$ удовлетворяет условию $x⩾x_0$ тогда и только тогда, когда $a(a+16)⩾0\text{,}$ то есть $a⩽-16$ или $a⩾0\text{.}$ Кроме того, $x_1⩾4$ эквивалентно $a⩽-16\text{,}$ а при $a>0$ имеем $x_1<0\text{.}$

Итого по этому случаю:

• при $a<-18\text{:}$ решений нет;
• при $-18⩽a⩽-16\text{:}$ 2 решения (оба корня $⩾4$);
• при $-16<a<0\text{:}$ 1 решение (только $x_2$);
• при $a⩾0\text{:}$ 2 решения ($x_1⩽0$ и $x_2⩾4$).

2) Случай $4x+a<0$ (то есть $x<x_0$)
Тогда

$$-2(4x+a)=x^2-4x\Rightarrow x^2+4x+2a=0.$$

Корни существуют при $a⩽2$ и равны

$$x_{3,4}=-2\pm \sqrt{4-2a}.$$

Здесь $x_3=-2-\sqrt{4-2a}⩽-2\text{,}$ поэтому при $a⩽2$ он всегда удовлетворяет $x⩽0$ и неравенству $x<x_0$ (так как $x_0⩾-\frac{1}{2}$ при $a⩽2$).

Для $x_4=-2+\sqrt{4-2a}$ условие $x_4<x_0$ равносильно $a(a+16)>0\text{,}$ то есть $a<-16$ или $a>0$ (при $a=-16$ и $a=0$ получается равенство $x_4=x_0$). Также:

• при $a<-16$ корень $x_4>4\text{,}$ значит допустим;
• при $-16<a<0$ корень $x_4\in (0;4)\text{,}$ значит не даёт решения (и к тому же не удовлетворяет $x<x_0$);
• при $0<a<2$ корень $x_4\in (-2;0)\text{,}$ значит допустим.

Итого по этому случаю:

• при $a<-16\text{:}$ 2 решения;
• при $-16<a⩽2\text{:}$ 1 решение (только $x_3$);
• при $0<a<2\text{:}$ 2 решения;
• при $a>2\text{:}$ решений нет.

Подсчёт числа решений системы

• $a<-18\text{:}$ только случай 2 даёт 2 решения.
• $a=-18\text{:}$ 3 решения.
• $-18<a<-16\text{:}$ 4 решения.
• $a=-16\text{:}$ 3 решения.
• $-16<a<0\text{:}$ 2 решения.
• $a=0\text{:}$ 3 решения.
• $0<a<2\text{:}$ 4 решения.
• $a=2\text{:}$ 3 решения.
• $a>2\text{:}$ 2 решения.

Ответ: система имеет ровно два различных решения при

$$a<-18,-16<a<0,a>2.$$