Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases 4x - y + a = 0 [2pt] 2|y| - x^2 + 4x = 0 cases имеет ровно два различных решения.

Из первого уравнения y=4x+a. Подставим во второе: 2|4x+a|=x^2-4x=x(x-4). Так как левая часть неотрицательна, то x(x-4) 0=> x 0 или x 4. Обозначим x_0=-(a)/(4) (точка излома модуля). 1) Случай 4x+a 0 (то есть x x_0) Тогда 2(4x+a)=x^2-4x=> x^2-12x-2a=0. Корни существуют при a -18 и равны x_(1,2)=6+-sqrt(36+2a). При этом: - корень x_2=6+sqrt(36+2a) всегда >6, значит он всегда удовлетворяет x 4 и при a -18 даёт одно решение системы; - корень x_1=6-sqrt(36+2a) удовлетворяет условию x x_0 тогда и только тогда, когда a(a+16) 0, то есть a -16 или a 0. Кроме того, x_1 4 эквивалентно a -16, а при a>0 имеем x_1<0. Итого по этому случаю: - при a<-18: решений нет; - при -18 a -16: 2 решения (оба корня 4); - при -16<a<0: 1 решение (только x_2); - при a 0: 2 решения (x_1 0 и x_2 4). 2) Случай 4x+a<0 (то есть x<x_0) Тогда -2(4x+a)=x^2-4x=> x^2+4x+2a=0. Корни существуют при a 2 и равны x_(3,4)=-2+-sqrt(4-2a). Здесь x_3=-2-sqrt(4-2a) -2, поэтому при a 2 он всегда удовлетворяет x 0 и неравенству x<x_0 (так как x_0 -(1)/(2) при a 2). Для x_4=-2+sqrt(4-2a) условие x_4<x_0 равносильно a(a+16)>0, то есть a<-16 или a>0 (при a=-16 и a=0 получается равенство x_4=x_0). Также: - при a<-16 корень x_4>4, значит допустим; - при -16<a<0 корень x_4in(0;4), значит не даёт решения (и к тому же не удовлетворяет x<x_0); - при 0<a<2 корень x_4in(-2;0), значит допустим. Итого по этому случаю: - при a<-16: 2 решения; - при -16<a 2: 1 решение (только x_3); - при 0<a<2: 2 решения; - при a>2: решений нет. Подсчёт числа решений системы - a<-18: только случай 2 даёт 2 решения. - a=-18: 3 решения. - -18<a<-16: 4 решения. - a=-16: 3 решения. - -16<a<0: 2 решения. - a=0: 3 решения. - 0<a<2: 4 решения. - a=2: 3 решения. - a>2: 2 решения. Ответ: система имеет ровно два различных решения при a<-18, -16<a<0, a>2.

\(a<-18; -16<a<0; a>2.\)