Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x^2 + 2x + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px - (0,5x^2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Прибыль за год: f(x) = px - (0,5x^2 + 2x + 6) = -0,5x^2 + (p-2)x - 6. Максимум достигается при x = (p-2)/(1) = p-2 (тыс. единиц). Максимальная прибыль: P(p) = -0,5(p-2)^2 + (p-2)^2 - 6 = 0,5(p-2)^2 - 6. Строительство завода стоит 78 млн руб. Окупаемость за 3 года: 3P(p) >= 78=> P(p) >= 26. 0,5(p-2)^2 - 6>= 26=> 0,5(p-2)^2>= 32=> (p-2)^2>= 64=> |p-2| >= 8. Так как x = p-2>= 0, то p-2>= 8=> p>= 10. Ответ: p = 10.

\(10\)