Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases x^4+y^2=a^2 [2pt] x^2+y=|2a-4| cases имеет ровно четыре различных решения.

Положим t=x^2, тогда t>= 0 и система равносильна cases t^2+y^2=a^2, t+y=b, cases b=|2a-4|. В плоскости (t,y) это окружность радиуса |a| и прямая. Исходная система имеет ровно 4 различных решения (x,y) тогда и только тогда, когда прямая пересекает окружность в двух различных точках с t>0 (каждой точке с t>0 соответствуют два значения x=+- t). Подставим y=b-t в уравнение окружности: t^2+(b-t)^2=a^2 =>2t^2-2bt+(b^2-a^2)=0. Нужно, чтобы это квадратное уравнение имело два различных положительных корня t_1,t_2, причём t_1!= 0, t_2!= 0. 1. Два различных корня <=> D>0: D=(-2b)^2-4* 2* (b^2-a^2)=4b^2-8(b^2-a^2)=8a^2-4b^2. Так как b^2=(2a-4)^2, получаем D>0 <=>8a^2-4(2a-4)^2>0 <=>2a^2>(2a-4)^2 <=>a^2-8a+8<0 <=>4-22<a<4+22. 2. Оба корня положительны и не равны нулю. По Виету t_1+t_2=b, t_1t_2=(b^2-a^2)/(2). Достаточно требовать t_1t_2>0 (тогда автоматически b>0 и оба корня одного знака, причём не нули), то есть (b^2-a^2)/(2)>0 <=>b^2>a^2 <=>|2a-4|>|a|. Решая (2a-4)^2>a^2, получаем 3a^2-16a+16>0 <=>a<(4)/(3) или a>4. Совмещая с условием D>0, получаем ain (4-22,(4)/(3))U(4,4+22). Ответ: ain (4-22,(4)/(3))U(4,4+22) . Границы не входят: при a=4+- 22 имеем D=0 (одна точка пересечения => 2 решения), а при a=(4)/(3) или a=4 один из корней t равен нулю (=> 3 решения).

\(a\in (4-2\sqrt{2},\,\tfrac{4}{3})\cup(4,\,4+2\sqrt{2})\)