Задача №15407

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^4+y^2=a^2\\ x^2+y=|2a-4|\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Положим $t=x^2\text{,}$ тогда $t\ge 0$ и система равносильна

$$\{\begin{array}{l}{t}^2+y^2=a^2,\\ t+y=b,\end{array}b=|2a-4|.$$

В плоскости $(t,y)$ это окружность радиуса $|a|$ и прямая. Исходная система имеет ровно 4 различных решения $(x,y)$ тогда и только тогда, когда прямая пересекает окружность в двух различных точках с $t>0$ (каждой точке с $t>0$ соответствуют два значения $x=\pm \sqrt{t}$).

Подставим $y=b-t$ в уравнение окружности:

$$t^2+(b-t{)}^2=a^2\Rightarrow 2t^2-2bt+(b^2-a^2)=0.$$

Нужно, чтобы это квадратное уравнение имело два различных положительных корня $t_1,t_2\text{,}$ причём $t_1\ne 0\text{,}$ $t_2\ne 0\text{.}$

1. Два различных корня $\iff D>0\text{:}$

$$D=(-2b{)}^2-4\cdot 2\cdot (b^2-a^2)=4b^2-8(b^2-a^2)=8a^2-4b^2.$$

Так как $b^2=(2a-4{)}^2\text{,}$ получаем

$$D>0\iff 8a^2-4(2a-4{)}^2>0\iff 2a^2>(2a-4{)}^2$$ $$\iff a^2-8a+8<0\iff 4-2\sqrt{2}<a<4+2\sqrt{2}.$$

2. Оба корня положительны и не равны нулю. По Виету

$$t_1+t_2=b,t_1{t}_2=\frac{b^2-a^2}{2}.$$

Достаточно требовать $t_1{t}_2>0$ (тогда автоматически $b>0$ и оба корня одного знака, причём не нули), то есть

$$\frac{b^2-a^2}{2}>0\iff b^2>a^2\iff |2a-4|>|a|.$$

Решая $(2a-4{)}^2>a^2\text{,}$ получаем

$$3a^2-16a+16>0\iff a<\frac{4}{3}\text{ или }a>4.$$

Совмещая с условием $D>0\text{,}$ получаем

$$a\in (4-2\sqrt{2},\frac{4}{3})\cup (4,4+2\sqrt{2}).$$

Ответ: $a\in (4-2\sqrt{2},\frac{4}{3})\cup (4,4+2\sqrt{2})\text{.}$

Границы не входят: при $a=4\pm 2\sqrt{2}$ имеем $D=0$ (одна точка пересечения $\Rightarrow$ 2 решения), а при $a=\frac{4}{3}$ или $a=4$ один из корней $t$ равен нулю ($\Rightarrow$ 3 решения).