Задача №15406

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\ y^2=x^2\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Первое уравнение приводим к виду окружности:

$$(x-2a-2{)}^2+(y-a{)}^2=1$$

с центром $C(2a+2,a)$ и радиусом $R=1\text{.}$

Второе уравнение $y^2=x^2$ эквивалентно двум прямым: $y=x$ и $y=-x\text{.}$

Чтобы система имела ровно четыре решения, окружность должна пересекать каждую прямую в двух точках, и все точки должны быть различны (точка пересечения прямых $(0,0)$ не должна лежать на окружности).

Условие пересечения с $y=x\text{:}$ расстояние от центра до прямой меньше радиуса:

$$\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}<1\Rightarrow |a+2|<\sqrt{2}\Rightarrow a\in (-\sqrt{2}-2;\sqrt{2}-2).$$

Условие пересечения с $y=-x\text{:}$

$$\frac{|3a+2|}{\sqrt{2}}<1\Rightarrow |3a+2|<\sqrt{2}\Rightarrow a\in \left(\frac{-\sqrt{2}-2}{3};\frac{\sqrt{2}-2}{3}\right).$$

Пересечение интервалов:

$$a\in \left(\frac{-\sqrt{2}-2}{3};\sqrt{2}-2\right).$$

Исключаем значения $a\text{,}$ при которых окружность проходит через $(0,0)\text{:}$ подстановка даёт $5a^2+8a+3=0\text{,}$ откуда $a=-1$ или $a=-\frac{3}{5}\text{.}$
Оба значения принадлежат интервалу, поэтому их нужно исключить.

Ответ: $a\in \left(\frac{-\sqrt{2}-2}{3};\sqrt{2}-2\right)\setminus \left\{-1;-\frac{3}{5}\right\}\text{.}$