Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases x^2 + y^2 - 4(a+1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0, [2pt] y^2 = x^2 cases имеет ровно четыре различных решения.

Первое уравнение приводим к виду окружности: (x - 2a - 2)^2 + (y - a)^2 = 1 с центром C(2a+2, a) и радиусом R=1 . Второе уравнение y^2 = x^2 эквивалентно двум прямым: y = x и y = -x . Чтобы система имела ровно четыре решения, окружность должна пересекать каждую прямую в двух точках, и все точки должны быть различны (точка пересечения прямых (0,0) не должна лежать на окружности). Условие пересечения с y=x : расстояние от центра до прямой меньше радиуса: (|a+2|)/(sqrt(2)) < 1=> |a+2| < sqrt(2)=> ain (-sqrt(2)-2; sqrt(2)-2). Условие пересечения с y=-x : (|3a+2|)/(sqrt(2)) < 1=> |3a+2| < sqrt(2)=> ain( (-sqrt(2)-2)/(3); (sqrt(2)-2)/(3)). Пересечение интервалов: ain( (-sqrt(2)-2)/(3); sqrt(2)-2). Исключаем значения a , при которых окружность проходит через (0,0) : подстановка даёт 5a^2+8a+3=0 , откуда a=-1 или a=-(3)/(5) . Оба значения принадлежат интервалу, поэтому их нужно исключить. Ответ: ain( (-sqrt(2)-2)/(3); sqrt(2)-2) -1; -(3)/(5) .

\( a\in\left( \dfrac{-\sqrt{2}-2}{3},\, -1\right) \cup\left( -1,\, -\dfrac{3}{5}\right) \cup\left( -\dfrac{3}{5},\, \sqrt{2}-2\right) \)