Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (xy - 2x + 12) *sqrt(y - 2x + 12) = 0 [2pt] y = ax - 10 cases имеет ровно два различных решения.

Область определения: y - 2x + 12>= 0. Так как (xy - 2x + 12) sqrt(y - 2x + 12) = 0, то получаем совокупность двух систем: 1) y - 2x + 12 = 0, y = ax - 10; 2) xy - 2x + 12 = 0, y = ax - 10, y - 2x + 12>= 0. Рассмотрим каждую систему. 1) Из y = ax - 10 и y - 2x + 12 = 0 имеем (a - 2)x + 2 = 0. Если a = 2, решений нет. Если a!= 2, то существует единственное решение x_0 = -(2)/(a - 2), y_0 = a x_0 - 10. Обозначим эту точку M_1. 2) Подставим y = ax - 10 в xy - 2x + 12 = 0: x(ax - 10) - 2x + 12 = 0=> a x^2 - 12x + 12 = 0. Условие y - 2x + 12>= 0 даёт f(x) = (a - 2)x + 2>= 0. Рассмотрим случаи. - a = 0. Тогда -12x + 12 = 0=> x = 1, и f(1) = 0. Это же решение даёт система 1), значит всего 1 решение. - a!= 0. Дискриминант квадратного уравнения D = 144 - 48a = 48(3 - a). 1) a > 3. Тогда D < 0, система 2) не имеет решений. Система 1) при a!= 2 даёт 1 решение, значит всего 1 решение. 2) a = 3. Тогда уравнение 3x^2 - 12x + 12 = 0 имеет один корень x = 2, причём f(2) = 4>= 0, значит система 2) даёт 1 решение. Система 1) даёт ещё 1 решение (при a = 3 это x = -2), всего 2 решения. 3) a < 3, a!= 0. Тогда уравнение a x^2 - 12x + 12 = 0 имеет два различных корня x_1, x_2. По Виету x_1 + x_2 = (12)/(a), x_1 x_2 = (12)/(a). Посчитаем f(x_1) f(x_2) = ((a - 2)x_1 + 2) ((a - 2)x_2 + 2) = 12a - 20. - Если a < (5)/(3) и a!= 0, то 12a - 20 < 0, значит f(x_1) и f(x_2) разных знаков, следовательно, ровно один корень удовлетворяет f(x) >= 0. Тогда система 2) даёт 1 решение, а система 1) (при a!= 2) даёт ещё 1 решение. Совпадение решений систем 1) и 2) возможно только при a = 0 или a = (5)/(3) (подстановка x_0 = -(2)/(a-2) в a x^2 - 12x + 12 = 0), поэтому при a < (5)/(3), a!= 0 решения различны. Итого 2 решения. - Если a = (5)/(3), то система 2) даёт 2 решения, причём одно из них удовлетворяет f(x) = 0 и совпадает с решением системы 1). Итого 2 различных решения. - Если (5)/(3) < a < 3, a!= 2, то 12a - 20 > 0, то есть f(x_1) и f(x_2) одного знака. Кроме того, f(x_1) + f(x_2) = (a - 2)(x_1 + x_2) + 4 = (a - 2) (12)/(a) + 4 = 16 - (24)/(a) > 0 (так как a > (5)/(3) > (3)/(2)). Значит, f(x_1) > 0 и f(x_2) > 0, оба корня проходят условие f(x) >= 0, система 2) даёт 2 решения. Вместе с M_1 получаем 3 решения. Осталось учесть a = 2: система 1) не имеет решений, а система 2) превращается в 2x^2 - 12x + 12 = 0 с двумя корнями (и условие f(x) = 2>= 0 выполняется всегда), итого 2 решения. Следовательно, система имеет ровно два различных решения при ain (-inf, 0) U(0, (5)/(3)] U 2, 3.

\(a\in (-\infty,0)\cup\left(0,\dfrac{5}{3}\right]\cup\{2,3\}\)