Задача №15405

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(xy-2x+12)\cdot \sqrt{y-2x+12}=0\\ y=ax-10\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Область определения: $y-2x+12\ge 0\text{.}$

Так как

$$(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,$$

то получаем совокупность двух систем:

1) $y-2x+12=0\text{,}$ $y=ax-10\text{;}$

2) $xy-2x+12=0\text{,}$ $y=ax-10\text{,}$ $y-2x+12\ge 0\text{.}$

Рассмотрим каждую систему.

1) Из $y=ax-10$ и $y-2x+12=0$ имеем

$$(a-2)x+2=0.$$

Если $a=2\text{,}$ решений нет. Если $a\ne 2\text{,}$ то существует единственное решение

$$x_0=-\frac{2}{a-2},y_0=a{x}_0-10.$$

Обозначим эту точку $M_1\text{.}$

2) Подставим $y=ax-10$ в $xy-2x+12=0\text{:}$

$$x(ax-10)-2x+12=0\Rightarrow a{x}^2-12x+12=0.$$

Условие $y-2x+12\ge 0$ даёт

$$f(x)=(a-2)x+2\ge 0.$$

Рассмотрим случаи.

• $a=0\text{.}$ Тогда $-12x+12=0\Rightarrow x=1\text{,}$ и $f(1)=0\text{.}$ Это же решение даёт система 1), значит всего 1 решение.

• $a\ne 0\text{.}$ Дискриминант квадратного уравнения

$$D=144-48a=48(3-a).$$

1) $a>3\text{.}$ Тогда $D<0\text{,}$ система 2) не имеет решений. Система 1) при $a\ne 2$ даёт 1 решение, значит всего 1 решение.

2) $a=3\text{.}$ Тогда уравнение $3x^2-12x+12=0$ имеет один корень $x=2\text{,}$ причём $f(2)=4\ge 0\text{,}$ значит система 2) даёт 1 решение. Система 1) даёт ещё 1 решение (при $a=3$ это $x=-2$), всего 2 решения.

3) $a<3\text{,}$ $a\ne 0\text{.}$ Тогда уравнение $a{x}^2-12x+12=0$ имеет два различных корня $x_1,x_2\text{.}$ По Виету

$$x_1+x_2=\frac{12}{a},x_1{x}_2=\frac{12}{a}.$$

Посчитаем

$$f(x_1)f(x_2)=((a-2)x_1+2)((a-2)x_2+2)=12a-20.$$

• Если $a<\frac{5}{3}$ и $a\ne 0\text{,}$ то $12a-20<0\text{,}$ значит $f(x_1)$ и $f(x_2)$ разных знаков, следовательно, ровно один корень удовлетворяет $f(x)\ge 0\text{.}$ Тогда система 2) даёт 1 решение, а система 1) (при $a\ne 2$) даёт ещё 1 решение. Совпадение решений систем 1) и 2) возможно только при $a=0$ или $a=\frac{5}{3}$ (подстановка $x_0=-\frac{2}{a-2}$ в $a{x}^2-12x+12=0$), поэтому при $a<\frac{5}{3}\text{,}$ $a\ne 0$ решения различны. Итого 2 решения.

• Если $a=\frac{5}{3}\text{,}$ то система 2) даёт 2 решения, причём одно из них удовлетворяет $f(x)=0$ и совпадает с решением системы 1). Итого 2 различных решения.

• Если $\frac{5}{3}<a<3\text{,}$ $a\ne 2\text{,}$ то $12a-20>0\text{,}$ то есть $f(x_1)$ и $f(x_2)$ одного знака. Кроме того,

$$f(x_1)+f(x_2)=(a-2)(x_1+x_2)+4=(a-2)\frac{12}{a}+4=16-\frac{24}{a}>0$$

(так как $a>\frac{5}{3}>\frac{3}{2}$). Значит, $f(x_1)>0$ и $f(x_2)>0\text{,}$ оба корня проходят условие $f(x)\ge 0\text{,}$ система 2) даёт 2 решения. Вместе с $M_1$ получаем 3 решения.

Осталось учесть $a=2\text{:}$ система 1) не имеет решений, а система 2) превращается в $2x^2-12x+12=0$ с двумя корнями (и условие $f(x)=2\ge 0$ выполняется всегда), итого 2 решения.

Следовательно, система имеет ровно два различных решения при

$$a\in (-\infty ,0)\cup \left(0,\frac{5}{3}\right]\cup \{2,3\}.$$