Задача №15403

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Пусть числа $a_1<a_2<\dots <a_n$ — различные натуральные, и для любых различных $i,j\text{:}$ $45<a_i{a}_j<120\text{.}$

а) Пример для 5 чисел: 6, 8, 9, 10, 11. Проверяем попарные произведения: минимальное $6\cdot 8=48>45\text{,}$ максимальное $10\cdot 11=110<120\text{.}$ Все условия выполнены.

б) Попробуем найти 6 чисел. Пусть $a_1$ — наименьшее. Тогда для любого $j>1\text{:}$

$$a_1{a}_j>45\Rightarrow a_j>\frac{45}{a_1},$$ $$a_1{a}_j<120\Rightarrow a_j<\frac{120}{a_1}.$$

Также для любых двух чисел, не включая $a_1\text{,}$ должно быть $a_i{a}_j<120\text{.}$

Для $a_1=6\text{:}$ $a_j\in [8;19]\text{.}$ Наибольшее произведение среди других чисел должно быть меньше 120. Если взять два наибольших числа из этого диапазона, например, 18 и 19, их произведение $18\cdot 19=342>120\text{.}$ Чтобы все произведения были меньше 120, числа должны быть достаточно маленькими. Максимальное количество чисел в диапазоне $8;19$ с попарными произведениями $<120$ — 4 (например, 8, 9, 10, 11). Добавление любого другого числа (12, 13, ...) приводит к произведению с одним из уже выбранных, не меньшему 120 (например, $10\cdot 12=120$).

При $a_1=7\text{:}$ диапазон для остальных $[8;17]\text{,}$ аналогично максимум 4 числа кроме $a_1$ (например, 8, 9, 10, 11).

При $a_1=5\text{:}$ диапазон $[10;23]\text{,}$ но даже $10\cdot 12=120\text{,}$ поэтому больше 3 чисел кроме $a_1$ не набрать.

Значит, 6 чисел невозможно.

в) Найдем минимальную сумму четырех чисел. Перебираем наименьшее $a_1\text{.}$

При $a_1=6\text{:}$ $a_2\ge 8\text{,}$ $a_3\ge 9\text{,}$ $a_4\ge 10\text{.}$ Набор $(6,8,9,10)$ удовлетворяет условиям: $6\cdot 8=48>45\text{,}$ $6\cdot 10=60<120\text{,}$ $8\cdot 9=72\text{,}$ $8\cdot 10=80\text{,}$ $9\cdot 10=90$ — все в $(45;120)\text{.}$ Сумма $6+8+9+10=33\text{.}$

При $a_1=5\text{:}$ $a_2\ge 10\text{,}$ $a_3\ge 11\text{,}$ но тогда $a_3\cdot a_4$ должно быть $<120\text{,}$ а $a_4\ge 12\text{,}$ и $10\cdot 12=120$ — не меньше, поэтому не подходит.

При $a_1=7\text{:}$ минимальный набор $(7,8,9,10)$ дает сумму $7+8+9+10=34>33\text{.}$

При меньших $a_1$ наборы невозможны.

Ответ:

а) Да, например, числа 6, 8, 9, 10, 11.

б) Нет, 6 чисел невозможно.

в) 33.