На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Пусть числа a_1 < a_2 < < a_n — различные натуральные, и для любых различных i,j: 45 < a_i a_j < 120. а) Пример для 5 чисел: 6, 8, 9, 10, 11. Проверяем попарные произведения: минимальное 6* 8 = 48 > 45, максимальное 10* 11 = 110 < 120. Все условия выполнены. б) Попробуем найти 6 чисел. Пусть a_1 — наименьшее. Тогда для любого j > 1: a_1 a_j > 45=> a_j > (45)/(a_1), a_1 a_j < 120=> a_j < (120)/(a_1). Также для любых двух чисел, не включая a_1, должно быть a_i a_j < 120. Для a_1 = 6: a_jin [8; 19]. Наибольшее произведение среди других чисел должно быть меньше 120. Если взять два наибольших числа из этого диапазона, например, 18 и 19, их произведение 18* 19 = 342 > 120. Чтобы все произведения были меньше 120, числа должны быть достаточно маленькими. Максимальное количество чисел в диапазоне 8; 19 с попарными произведениями < 120 — 4 (например, 8, 9, 10, 11). Добавление любого другого числа (12, 13, ...) приводит к произведению с одним из уже выбранных, не меньшему 120 (например, 10* 12 = 120). При a_1 = 7: диапазон для остальных [8; 17], аналогично максимум 4 числа кроме a_1 (например, 8, 9, 10, 11). При a_1 = 5: диапазон [10; 23], но даже 10* 12 = 120, поэтому больше 3 чисел кроме a_1 не набрать. Значит, 6 чисел невозможно. в) Найдем минимальную сумму четырех чисел. Перебираем наименьшее a_1. При a_1 = 6: a_2>= 8, a_3>= 9, a_4>= 10. Набор (6, 8, 9, 10) удовлетворяет условиям: 6* 8 = 48 > 45, 6* 10 = 60 < 120, 8* 9 = 72, 8* 10 = 80, 9* 10 = 90 — все в (45; 120). Сумма 6 + 8 + 9 + 10 = 33. При a_1 = 5: a_2>= 10, a_3>= 11, но тогда a_3* a_4 должно быть < 120, а a_4>= 12, и 10* 12 = 120 — не меньше, поэтому не подходит. При a_1 = 7: минимальный набор (7, 8, 9, 10) дает сумму 7 + 8 + 9 + 10 = 34 > 33. При меньших a_1 наборы невозможны. Ответ: а) Да, например, числа 6, 8, 9, 10, 11. б) Нет, 6 чисел невозможно. в) 33.

а) да б) нет в) 33