Задача №15402

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}y=(a+2)x^2+2ax+a-2\\ y^2=x^2\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Из второго уравнения системы следует $y=x$ или $y=-x\text{.}$ Подставляем в первое уравнение.

1. При $y=x$ получаем:

$$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. При $y=-x$ получаем:

$$(a+2)x^2+(2a+1)x+a-2=0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Количество решений исходной системы равно сумме количеств корней уравнений (1) и (2), за исключением случая, когда $x=0$ является корнем обоих уравнений (тогда пара $(0,0)$ учитывается один раз).

Вычислим дискриминанты (при $a\ne -2$):

$$D_1=(2a-1{)}^2-4(a+2)(a-2)=17-4a,$$ $$D_2=(2a+1{)}^2-4(a+2)(a-2)=17+4a.$$

Для получения ровно четырёх решений необходимо, чтобы оба уравнения имели по два различных действительных корня, и при этом $x=0$ не был их общим корнем.

Условие $D_1>0$ и $D_2>0\text{:}$

$$17-4a>0\Rightarrow a<\frac{17}{4},17+4a>0\Rightarrow a>-\frac{17}{4}.$$

Таким образом, $a\in \left(-\frac{17}{4},\frac{17}{4}\right)\text{.}$

При $a=2$ проверка показывает, что $x=0$ является корнем обоих уравнений, и общее количество решений равно трём. При $a=-2$ уравнения становятся линейными и дают только два решения. Также при $a=\pm \frac{17}{4}$ один из дискриминантов обращается в нуль, что приводит к трём решениям.

Следовательно, исключаем $a=-2\text{,}$ $a=2$ и граничные точки.

Ответ: $a\in \left(-\frac{17}{4},\frac{17}{4}\right)\setminus \{-2,2\}$