Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases y = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2 [2pt] y^2 = x^2 cases имеет ровно четыре различных решения.

Из второго уравнения системы следует y = x или y = -x . Подставляем в первое уравнение. 1. При y = x получаем: (a+2)x^2 + (2a-1)x + a - 2 = 0. 1 2. При y = -x получаем: (a+2)x^2 + (2a+1)x + a - 2 = 0. 2 Количество решений исходной системы равно сумме количеств корней уравнений (1) и (2), за исключением случая, когда x=0 является корнем обоих уравнений (тогда пара (0,0) учитывается один раз). Вычислим дискриминанты (при a!= -2 ): D_1 = (2a-1)^2 - 4(a+2)(a-2) = 17 - 4a, D_2 = (2a+1)^2 - 4(a+2)(a-2) = 17 + 4a. Для получения ровно четырёх решений необходимо, чтобы оба уравнения имели по два различных действительных корня, и при этом x=0 не был их общим корнем. Условие D_1 > 0 и D_2 > 0 : 17 - 4a > 0=> a < (17)/(4), 17 + 4a > 0=> a > -(17)/(4). Таким образом, ain( -(17)/(4), (17)/(4)) . При a = 2 проверка показывает, что x=0 является корнем обоих уравнений, и общее количество решений равно трём. При a = -2 уравнения становятся линейными и дают только два решения. Также при a = +-(17)/(4) один из дискриминантов обращается в нуль, что приводит к трём решениям. Следовательно, исключаем a = -2 , a = 2 и граничные точки. Ответ: ain( -(17)/(4), (17)/(4)) -2, 2

\( a\in\left( -\dfrac{17}{4}, -2\right) \cup\left( -2, 2\right) \cup\left( 2, \dfrac{17}{4}\right) \)