Задача №15401

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2-(2a-5)x+2ay+1=0\\ x^2+y=xy+x\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение:

$$x^2+y-xy-x=0\Rightarrow (x-1)(x-y)=0,$$

значит $x=1$ или $y=x\text{.}$

Первое уравнение при $a\ne 0\text{:}$ выделяем полные квадраты, получаем окружность с центром $\left(1-\frac{5}{2a},-1\right)$ и радиусом $R>0$ при всех $a\ne 0\text{.}$

Пересечение с прямой $x=1\text{:}$ подстановка даёт квадратное уравнение

$$a{y}^2+2ay-a+6=0$$

с дискриминантом $D_1=8a(a-3)\text{.}$ Чтобы было два различных решения, нужно $D_1>0\text{,}$ то есть $a<0$ или $a>3\text{.}$

Пересечение с прямой $y=x\text{:}$ подстановка даёт

$$2a{x}^2+5x+1=0$$

с дискриминантом $D_2=25-8a\text{.}$ Чтобы было два различных решения, нужно $D_2>0\text{,}$ то есть $a<\frac{25}{8}$ и $a\ne 0\text{.}$

Точка $(1,1)$ (пересечение прямых) лежит на окружности при $a=-3\text{.}$ Чтобы все четыре точки были различны, нужно исключить $a=-3\text{.}$

Объединяя условия: $a<0$ (кроме $a=-3$), $a>3$ и $a<\frac{25}{8}\text{.}$ Учитывая $a\ne 0\text{,}$ получаем итоговые интервалы.