Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0 [2pt] x^2 + y = xy + x cases имеет ровно четыре различных решения.

Второе уравнение: x^2 + y - xy - x = 0=> (x-1)(x-y)=0, значит x=1 или y=x. Первое уравнение при a!= 0: выделяем полные квадраты, получаем окружность с центром (1-(5)/(2a), -1) и радиусом R > 0 при всех a!= 0. Пересечение с прямой x=1: подстановка даёт квадратное уравнение a y^2 + 2a y - a + 6 = 0 с дискриминантом D_1 = 8a(a-3). Чтобы было два различных решения, нужно D_1 > 0, то есть a < 0 или a > 3. Пересечение с прямой y=x: подстановка даёт 2a x^2 + 5x + 1 = 0 с дискриминантом D_2 = 25 - 8a. Чтобы было два различных решения, нужно D_2 > 0, то есть a < (25)/(8) и a!= 0. Точка (1,1) (пересечение прямых) лежит на окружности при a = -3. Чтобы все четыре точки были различны, нужно исключить a = -3. Объединяя условия: a < 0 (кроме a = -3), a > 3 и a < (25)/(8). Учитывая a!= 0, получаем итоговые интервалы.

\(a\in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup\left(3; \dfrac{25}{8}\right)\)