Задача №15395

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20\text{,}$ меньше, чем чисел, делящихся на $23\text{.}$

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20\text{?}$
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20\text{?}$
в) Найдите наибольшее возможное значение $k\text{.}$

Пусть на доске записано $k$ последовательных натуральных чисел $n,n+1,\dots ,n+k-1\text{.}$ Обозначим количество чисел в этом наборе, делящихся на $20\text{,}$ через $N_{20}\text{,}$ а делящихся на $23$ — через $N_{23}\text{.}$ По условию $N_{20}<N_{23}\text{.}$

а) Да, могло. Рассмотрим последовательность из $k=70$ чисел, начинающуюся с $161\text{:}$ $161,162,\dots ,230\text{.}$

Числа, делящиеся на $23\text{:}$ $161,184,207,230\text{.}$ Их ровно $N_{23}=4\text{.}$

Числа, делящиеся на $20\text{:}$ $180,200,220\text{.}$ Их ровно $N_{20}=3\text{.}$

Условие $3<4$ выполняется, и среди чисел ровно три делятся на $20\text{.}$

б) Предположим, что $N_{20}=10\text{.}$ Для того чтобы в наборе из $k$ последовательных чисел было ровно $10$ чисел, делящихся на $20\text{,}$ длина набора должна удовлетворять неравенству:

$$(10-1)\cdot 20+1⩽k⩽(10+1)\cdot 20-1$$ $$181⩽k⩽219$$

Количество чисел, делящихся на $23\text{,}$ в наборе длины $k$ не превосходит $\lceil k/23\rceil \text{.}$ При $k⩽219$ имеем:

$$N_{23}⩽\lceil 219/23\rceil =\lceil 9,\mathrm{52...}\rceil =10$$

Следовательно, $N_{23}⩽10\text{.}$ Если $N_{20}=10\text{,}$ то условие $N_{20}<N_{23}$ не может быть выполнено, так как $10<N_{23}$ означало бы $N_{23}⩾11\text{.}$

в) Количество чисел, делящихся на $m\text{,}$ в наборе длины $k$ удовлетворяет неравенству:

$$\lfloor \frac{k-1}{m}\rfloor ⩽N_m⩽\lfloor \frac{k-1}{m}\rfloor +1$$

Для выполнения условия $N_{20}<N_{23}$ необходимо, чтобы минимально возможное значение $N_{20}$ было меньше максимально возможного значения $N_{23}\text{:}$

$$\lfloor \frac{k-1}{20}\rfloor <\lfloor \frac{k-1}{23}\rfloor +1$$

Так как $20<23\text{,}$ то всегда $\lfloor \frac{k-1}{20}\rfloor ⩾\lfloor \frac{k-1}{23}\rfloor \text{.}$ Единственный способ удовлетворить неравенству — это равенство:

$$\lfloor \frac{k-1}{20}\rfloor =\lfloor \frac{k-1}{23}\rfloor =q$$

Это означает, что число $x=k-1$ должно попасть в пересечение интервалов $[20q;20q+19]$ и $[23q;23q+22]\text{.}$ Пересечение непусто, если:

$$23q⩽20q+19\Rightarrow 3q⩽19\Rightarrow q⩽6$$

При $q=6$ получаем $138⩽k-1⩽139\text{,}$ то есть $k\in \{139;140\}\text{.}$

Если $k=140\text{,}$ то $N_{20}=140/20=7\text{.}$ При этом $N_{23}⩽\lceil 140/23\rceil =7\text{.}$ Условие $7<N_{23}$ невыполнимо.

Если $k=139\text{,}$ то $N_{20}$ может быть равно $6\text{,}$ а $N_{23}$ может быть равно $7\text{.}$ Это возможно, если первое число $n=161\text{.}$ Тогда в наборе $161,\dots ,299\text{:}$

Числа, делящиеся на $23\text{:}$ $161,184,207,230,253,276,299$ (всего $7$ чисел).

Числа, делящиеся на $20\text{:}$ $180,200,220,240,260,280$ (всего $6$ чисел).

Условие $6<7$ выполняется. При больших $q$ разрыв между долями только увеличивается, что делает выполнение условия невозможным.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 139