На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20 , меньше, чем чисел, делящихся на 23 . а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20 ? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20 ? в) Найдите наибольшее возможное значение k .

Пусть на доске записано k последовательных натуральных чисел n, n+1, , n+k-1 . Обозначим количество чисел в этом наборе, делящихся на 20 , через N_(20) , а делящихся на 23 — через N_(23) . По условию N_(20) < N_(23) . а) Да, могло. Рассмотрим последовательность из k = 70 чисел, начинающуюся с 161 : 161, 162, , 230 . Числа, делящиеся на 23 : 161, 184, 207, 230 . Их ровно N_(23) = 4 . Числа, делящиеся на 20 : 180, 200, 220 . Их ровно N_(20) = 3 . Условие 3 < 4 выполняется, и среди чисел ровно три делятся на 20 . б) Предположим, что N_(20) = 10 . Для того чтобы в наборе из k последовательных чисел было ровно 10 чисел, делящихся на 20 , длина набора должна удовлетворять неравенству: (10-1) * 20 + 1 k (10+1) * 20 - 1 181 k 219 Количество чисел, делящихся на 23 , в наборе длины k не превосходит k/23 . При k 219 имеем: N_(23) 219/23 = 9,52... = 10 Следовательно, N_(23) 10 . Если N_(20) = 10 , то условие N_(20) < N_(23) не может быть выполнено, так как 10 < N_(23) означало бы N_(23) 11 . в) Количество чисел, делящихся на m , в наборе длины k удовлетворяет неравенству: (k-1)/(m) N_m (k-1)/(m) + 1 Для выполнения условия N_(20) < N_(23) необходимо, чтобы минимально возможное значение N_(20) было меньше максимально возможного значения N_(23) : (k-1)/(20) < (k-1)/(23) + 1 Так как 20 < 23 , то всегда (k-1)/(20) (k-1)/(23) . Единственный способ удовлетворить неравенству — это равенство: (k-1)/(20) = (k-1)/(23) = q Это означает, что число x = k-1 должно попасть в пересечение интервалов [20q; 20q+19] и [23q; 23q+22] . Пересечение непусто, если: 23q 20q + 19 => 3q 19 => q 6 При q = 6 получаем 138 k-1 139 , то есть k in 139; 140 . Если k = 140 , то N_(20) = 140/20 = 7 . При этом N_(23) 140/23 = 7 . Условие 7 < N_(23) невыполнимо. Если k = 139 , то N_(20) может быть равно 6 , а N_(23) может быть равно 7 . Это возможно, если первое число n = 161 . Тогда в наборе 161, , 299 : Числа, делящиеся на 23 : 161, 184, 207, 230, 253, 276, 299 (всего 7 чисел). Числа, делящиеся на 20 : 180, 200, 220, 240, 260, 280 (всего 6 чисел). Условие 6 < 7 выполняется. При больших q разрыв между долями только увеличивается, что делает выполнение условия невозможным. Ответ: а) да б) нет в) 139

а) Да б) Нет в) 139