Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases x+ay+a-2=0 [2pt] x|y|+x-2=0cases имеет единственное решение.
Рассмотрим систему уравнений: cases x+ay+a-2=0 [2pt] x|y|+x-2=0cases Выразим x из первого уравнения: x = 2 - a - ay. Подставим во второе уравнение, рассмотрев случаи знака y. y 0: Подстановка даёт: (2 - a - ay)y + (2 - a - ay) - 2 = 0 Упростим: ay^2 + (2a - 2)y + a = 0 Дискриминант D_1 = 4 - 8a. Корни существуют при a (1)/(2). При a > 0, a (1)/(2) оба корня положительные (произведение равно 1, сумма положительна), следовательно, два решения. При a < 0 оба корня отрицательные, не подходят под условие y 0. При a = 0 уравнение даёт y = 0. y < 0: Уравнение после подстановки: (2 - a - ay)(-y) + (2 - a - ay) - 2 = 0 Приводим к виду: ay^2 - 2y - a = 0 Дискриминант D_2 = 4 + 4a^2 > 0. Корни: y = (1+-sqrt(1 + a^2))/(a). При a > 0 один корень отрицательный, один положительный; при a < 0 один отрицательный, один положительный. Для y < 0 подходит только отрицательный корень: при a > 0 это y = (1 - sqrt(1 + a^2))/(a), при a < 0 это y = (1 + sqrt(1 + a^2))/(a). Анализ единственности решения: При a > (1)/(2) уравнение для y 0 не имеет действительных корней, а для y < 0 ровно один отрицательный корень, следовательно, единственное решение. При 0 < a (1)/(2) уравнение для y 0 имеет два положительных корня (или один при a = (1)/(2)), а для y < 0 один отрицательный корень, следовательно, не менее двух решений. При a = 0: только y = 0 из первого случая, единственное решение (2; 0). При a < 0 уравнение для y 0 не имеет корней (корни отрицательны е), а для y < 0 ровно один отрицательный корень, следовательно, единственное решение. Ответ: все a такие, что a 0 или a > (1)/(2).
\(a\in (-\infty, 0] \cup\left(\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\)