Задача №15393

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}x+ay+a-2=0\\ x|y|+x-2=0\end{array}$$

имеет единственное решение.

Рассмотрим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+ay+a-2=0\\ x|y|+x-2=0\end{array}$$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x=2-a-ay\text{.}$ Подставим во второе уравнение, рассмотрев случаи знака $y\text{.}$

1. $y⩾0\text{:}$

Подстановка даёт:

$$(2-a-ay)y+(2-a-ay)-2=0$$

Упростим:

$$a{y}^2+(2a-2)y+a=0$$

Дискриминант $D_1=4-8a\text{.}$ Корни существуют при $a⩽\frac{1}{2}\text{.}$

• При $a>0,a⩽\frac{1}{2}$ оба корня положительные (произведение равно 1, сумма положительна), следовательно, два решения.
• При $a<0$ оба корня отрицательные, не подходят под условие $y⩾0\text{.}$
• При $a=0$ уравнение даёт $y=0\text{.}$

2. $y<0\text{:}$

Уравнение после подстановки:

$$(2-a-ay)(-y)+(2-a-ay)-2=0$$

Приводим к виду:

$$a{y}^2-2y-a=0$$

Дискриминант $D_2=4+4a^2>0\text{.}$ Корни: $y=\frac{1\pm \sqrt{1+a^2}}{a}\text{.}$

При $a>0$ один корень отрицательный, один положительный; при $a<0$ один отрицательный, один положительный. Для $y<0$ подходит только отрицательный корень:

• при $a>0$ это $y=\frac{1-\sqrt{1+a^2}}{a}\text{,}$
• при $a<0$ это $y=\frac{1+\sqrt{1+a^2}}{a}\text{.}$

Анализ единственности решения:

• При $a>\frac{1}{2}$ уравнение для $y⩾0$ не имеет действительных корней, а для $y<0$ ровно один отрицательный корень, следовательно, единственное решение.
• При $0<a⩽\frac{1}{2}$ уравнение для $y⩾0$ имеет два положительных корня (или один при $a=\frac{1}{2}$), а для $y<0$ один отрицательный корень, следовательно, не менее двух решений.
• При $a=0\text{:}$ только $y=0$ из первого случая, единственное решение $(2;0)\text{.}$
• При $a<0$ уравнение для $y⩾0$ не имеет корней (корни отрицательны

е), а для $y<0$ ровно один отрицательный корень, следовательно, единственное решение.

Ответ: все $a$ такие, что $a⩽0$ или $a>\frac{1}{2}\text{.}$