Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Общая масса камней: 4* 7 + 9* 22 = 28 + 198 = 226 тонн. а) Нужно, чтобы разность масс групп была 8 тонн. Тогда массы групп: (226 + 8)/(2) = 117 и (226 - 8)/(2) = 109. Проверим, можно ли получить 109 тонн из камней 7 и 22 т. Рассмотрим уравнение: 7x + 22y = 109, где 0<= x<= 4, 0<= y<= 9. При y = 4: 7x = 109 - 88 = 21=> x = 3. Группа из 3 камней по 7 т и 4 камней по 22 т имеет массу 21 + 88 = 109. Оставшиеся камни: 1 камень 7 т и 5 камней 22 т дают массу 117 т. Разность 8 т. Ответ: да. б) Равные массы: по 113 т. Рассмотрим уравнение: 7x + 22y = 113, где 0<= x<= 4, 0<= y<= 9. Перебор y от 0 до 5 не дает целого x, удовлетворяющего ограничениям. Например, при y = 1: 7x = 91=> x = 13 — не подходит. Других решений нет. Ответ: нет. в) Разность масс групп d = |226 - 2S|, где S — масса одной группы (целая, достигаемая суммой некоторого подмножества камней). Переберем возможные S из всех комбинаций x (от 0 до 4) и y (от 0 до 9): S = 7x + 22y. Для каждого S вычислим d, найдем минимальное положительное. Проверим малые d: d = 2: S = 112 или 114. Уравнение 7x + 22y = 112 — нет решения в пределах. Уравнение 7x + 22y = 114 — нет решения. d = 4: S = 111 или 115 — нет решений. d = 6: S = 110 или 116. Для S = 110: 7x + 22y = 110 при x = 0, y = 5 — решение. Тогда группа: 5 камней по 22 т (110 т), вторая группа: 4 камня по 7 т и 4 камня по 22 т (116 т), разность 6 т. Значит, d = 6 достижимо. Проверка меньших d показала недостижимость. Ответ: 6.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }6\)