Задача №15392

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Общая масса камней:
$4\cdot 7+9\cdot 22=28+198=226$ тонн.

а) Нужно, чтобы разность масс групп была 8 тонн. Тогда массы групп:
$\frac{226+8}{2}=117$ и $\frac{226-8}{2}=109\text{.}$

Проверим, можно ли получить 109 тонн из камней 7 и 22 т. Рассмотрим уравнение:
$7x+22y=109\text{,}$ где $0\le x\le 4\text{,}$ $0\le y\le 9\text{.}$

При $y=4\text{:}$
$7x=109-88=21\Rightarrow x=3\text{.}$

Группа из 3 камней по 7 т и 4 камней по 22 т имеет массу $21+88=109\text{.}$ Оставшиеся камни: 1 камень 7 т и 5 камней 22 т дают массу 117 т. Разность 8 т.

Ответ: да.

б) Равные массы: по 113 т. Рассмотрим уравнение:
$7x+22y=113\text{,}$ где $0\le x\le 4\text{,}$ $0\le y\le 9\text{.}$

Перебор $y$ от 0 до 5 не дает целого $x\text{,}$ удовлетворяющего ограничениям. Например, при $y=1\text{:}$
$7x=91\Rightarrow x=13$ — не подходит.

Других решений нет.

Ответ: нет.

в) Разность масс групп $d=|226-2S|\text{,}$ где $S$ — масса одной группы (целая, достигаемая суммой некоторого подмножества камней).

Переберем возможные $S$ из всех комбинаций $x$ (от 0 до 4) и $y$ (от 0 до 9): $S=7x+22y\text{.}$ Для каждого $S$ вычислим $d\text{,}$ найдем минимальное положительное.

Проверим малые $d\text{:}$

$d=2\text{:}$ $S=112$ или $114\text{.}$
Уравнение $7x+22y=112$ — нет решения в пределах.
Уравнение $7x+22y=114$ — нет решения.

$d=4\text{:}$ $S=111$ или $115$ — нет решений.

$d=6\text{:}$ $S=110$ или $116\text{.}$
Для $S=110\text{:}$ $7x+22y=110$ при $x=0\text{,}$ $y=5$ — решение.
Тогда группа: 5 камней по 22 т (110 т), вторая группа: 4 камня по 7 т и 4 камня по 22 т (116 т), разность 6 т.

Значит, $d=6$ достижимо. Проверка меньших $d$ показала недостижимость.

Ответ: 6.