Задача №15391

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$(2x+a+1-\tan x{)}^2=(2x+a-1+\tan x{)}^2$$

имеет единственное решение на отрезке $[0;\pi ]\text{?}$

Рассмотрим уравнение на отрезке $[0;\pi ]$ с учётом ОДЗ: $x\ne \frac{\pi }{2}\text{.}$

Пусть

$$A=2x+a+1-\tan x,B=2x+a-1+\tan x.$$

Тогда $A^2=B^2$ равносильно совокупности:

$$A=B\text{или}A=-B.$$

1) $A=B\text{:}$

$$2x+a+1-\tan x=2x+a-1+\tan x\Rightarrow 2=2\tan x\Rightarrow \tan x=1.$$

На $[0;\pi ]$ (и $x\ne \frac{\pi }{2}$) отсюда единственное решение:

$$x=\frac{\pi }{4}.$$

Оно существует при любом $a\text{.}$

2) $A=-B\text{:}$

$$2x+a+1-\tan x=-(2x+a-1+\tan x)\Rightarrow 2x+a+1-\tan x=-2x-a+1-\tan x.$$

Сокращая, получаем

$$4x+2a=0\Rightarrow x=-\frac{a}{2}.$$

Чтобы это было решением, нужно

$$-\frac{a}{2}\in [0;\pi ]\text{и}-\frac{a}{2}\ne \frac{\pi }{2}.$$

Первое даёт $a\in [-2\pi ;0]\text{,}$ второе исключает $a=-\pi \text{.}$ Значит, второй корень существует тогда и только тогда, когда

$$a\in [-2\pi ;0]\setminus \{-\pi \}.$$

Итак, всегда есть корень $x=\frac{\pi }{4}\text{.}$ Второй корень есть при $a\in [-2\pi ;0]\setminus \{-\pi \}$ и равен $-\frac{a}{2}\text{.}$ Единственное решение на $[0;\pi ]$ будет в случаях:

• второй корень отсутствует: $a\notin [-2\pi ;0]\setminus \{-\pi \}\text{,}$ то есть $a\in (-\infty ,-2\pi )\cup \{-\pi \}\cup (0,+\infty )\text{;}$

• второй корень совпадает с $\frac{\pi }{4}\text{:}$

$$-\frac{a}{2}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow a=-\frac{\pi }{2}.$$

Ответ:

$$a\in (-\infty ,-2\pi )\cup \left\{-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right\}\cup (0,+\infty ).$$