При каких значениях параметра a уравнение (2x + a + 1 - tan x)^2 = (2x + a - 1 + tan x)^2 имеет единственное решение на отрезке [0; pi]?

Рассмотрим уравнение на отрезке [0;pi] с учётом ОДЗ: x!=(pi)/(2). Пусть A=2x+a+1-tan x, B=2x+a-1+tan x. Тогда A^2=B^2 равносильно совокупности: A=B или A=-B. 1) A=B: 2x+a+1-tan x=2x+a-1+tan x=> 2=2tan x=>tan x=1. На [0;pi] (и x!=(pi)/(2)) отсюда единственное решение: x=(pi)/(4). Оно существует при любом a. 2) A=-B: 2x+a+1-tan x=-(2x+a-1+tan x) => 2x+a+1-tan x=-2x-a+1-tan x. Сокращая, получаем 4x+2a=0=> x=-(a)/(2). Чтобы это было решением, нужно -(a)/(2)in[0;pi] и -(a)/(2)!=(pi)/(2). Первое даёт ain[-2pi;0], второе исключает a=-pi. Значит, второй корень существует тогда и только тогда, когда ain[-2pi;0]-pi. Итак, всегда есть корень x=(pi)/(4). Второй корень есть при ain[-2pi;0]-pi и равен -(a)/(2). Единственное решение на [0;pi] будет в случаях: - второй корень отсутствует: anot in[-2pi;0]-pi, то есть ain(-inf,-2pi)U-piU(0,+inf); - второй корень совпадает с (pi)/(4): -(a)/(2)=(pi)/(4)=> a=-(pi)/(2). Ответ: ain(-inf,-2pi)U-pi; -(pi)/(2)U(0,+inf).

\(a\in(-\infty,-2\pi)\cup\left\{-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right\}\cup(0,+\infty)\)