Задача №15390

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа $n$-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $n\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Пусть $n$ — количество месяцев, в течение которых долг уменьшается на одну и ту же сумму $d$ тыс. руб. Сумма кредита $S=600$ тыс. руб. После $n$ месяцев долг равен 200, поэтому:

$$S-nd=200\Rightarrow 600-nd=200\Rightarrow nd=400\Rightarrow d=\frac{400}{n}.$$

Выплата в месяце $k$ ($k=1,\dots ,n$): $0.03D_{k-1}+d\text{,}$ где $D_{k-1}=600-(k-1)d$ — долг на начало месяца. Выплата в последнем ($n+1$-м) месяце: $1.03\cdot 200=206\text{.}$ Общая сумма выплат:

$$\sum _{k=1}^n(0.03D_{k-1}+d)+206=0.03\sum _{k=1}^n{D}_{k-1}+nd+206.$$

Сумма остатков:

$$\sum _{k=1}^n{D}_{k-1}=\sum _{k=0}^{n-1}(600-kd)=600n-d\cdot \frac{n(n-1)}{2}.$$

Подставляем $d=\frac{400}{n}\text{:}$

$$\sum _{k=1}^n{D}_{k-1}=600n-\frac{400}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2}=600n-200(n-1)=400n+200.$$

Тогда общая сумма выплат:

$$0.03(400n+200)+n\cdot \frac{400}{n}+206=12n+6+400+206=12n+612.$$

По условию она равна 852:

$$12n+612=852\Rightarrow 12n=240\Rightarrow n=20.$$

Ответ: $n=20\text{.}$