Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ln(4x - 1) *sqrt(x^2 - 6x + 6a - a^2) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

Уравнение ln(4x-1) *sqrt(x^2 - 6x + 6a - a^2) = 0 равносильно совокупности: ln(4x-1)=0 или sqrt(x^2 - 6x + 6a - a^2)=0. ОДЗ: x > (1)/(4) и x^2 - 6x + 6a - a^2 0. Из первого уравнения: 4x-1=1=> x=0,5. Этот корень входит в ОДЗ при 0,5^2 - 6*0,5 + 6a - a^2 0=> ain [0,5;5,5]. Из второго: x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0=> x = a или x = 6-a. Эти корни должны быть > (1)/(4). Требуется ровно один корень на отрезке [0; 3]. 1. Если ain (0,25;0,5): корень x=0,5 не входит в ОДЗ, корни квадратного уравнения: a и 6-a. При этом ain (0,25;3], 6-a > 3, поэтому только a лежит на [0; 3] (с учётом x>0,25). 2. При a=0,5: корень x=0,5 есть и совпадает с a, второй корень 6-a=5,5 не лежит на [0; 3]. 3. При 0,5 < a < 5,5: есть корень x=0,5 и один из корней a или 6-a лежит на [0; 3], итого два корня. 4. При a=5,5: корень x=0,5 совпадает с 6-a, один корень. 5. При 5,5 < a < 5,75: корень x=0,5 не входит в ОДЗ, корень 6-ain (0,25;0,5) лежит на [0; 3], корень a>5,5 не лежит. При остальных a корней на [0; 3] нет. Объединяем подходящие значения. Ответ: ain (0,25;0,5] U 5,5U (5,5;5,75).

\(a\in (0,25;\,0,5] \cup [5,5;\,5,75)\)