Задача №15389

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\ln (4x-1)\cdot \sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]\text{.}$

Уравнение $\ln (4x-1)\cdot \sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ равносильно совокупности: $\ln (4x-1)=0$ или $\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0\text{.}$

ОДЗ: $x>\frac{1}{4}$ и $x^2-6x+6a-a^2⩾0\text{.}$

Из первого уравнения: $4x-1=1\Rightarrow x=0,5\text{.}$ Этот корень входит в ОДЗ при $0,5^2-6\cdot 0,5+6a-a^2⩾0\Rightarrow a\in [0,5;5,5]\text{.}$

Из второго: $x^2-6x+6a-a^2=0\Rightarrow x=a$ или $x=6-a\text{.}$ Эти корни должны быть $>\frac{1}{4}\text{.}$

Требуется ровно один корень на отрезке $[0;3]\text{.}$

1. Если $a\in (0,25;0,5)\text{:}$ корень $x=0,5$ не входит в ОДЗ, корни квадратного уравнения: $a$ и $6-a\text{.}$ При этом $a\in (0,25;3]\text{,}$ $6-a>3\text{,}$ поэтому только $a$ лежит на $[0;3]$ (с учётом $x>0,25$).

2. При $a=0,5\text{:}$ корень $x=0,5$ есть и совпадает с $a\text{,}$ второй корень $6-a=5,5$ не лежит на $[0;3]\text{.}$

3. При $0,5<a<5,5\text{:}$ есть корень $x=0,5$ и один из корней $a$ или $6-a$ лежит на $[0;3]\text{,}$ итого два корня.

4. При $a=5,5\text{:}$ корень $x=0,5$ совпадает с $6-a\text{,}$ один корень.

5. При $5,5<a<5,75\text{:}$ корень $x=0,5$ не входит в ОДЗ, корень $6-a\in (0,25;0,5)$ лежит на $[0;3]\text{,}$ корень $a>5,5$ не лежит.

При остальных $a$ корней на $[0;3]$ нет.

Объединяем подходящие значения.

Ответ: $a\in (0,25;0,5]\cup \{5,5\}\cup (5,5;5,75)\text{.}$