Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a| имеет больше двух различных корней.
Рассмотрим уравнение x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|. Раскроем модуль по знаку 7x+a. 1) Если 7x+a>= 0, то x>= -(a)/(7) и x^2 + a^2 + x - 7a = 7x + a=> x^2 - 6x + a^2 - 8a = 0. Дискриминант D_1 = 36 - 4(a^2 - 8a) = 4(-a^2 + 8a + 9). Поэтому действительные корни есть при ain [-1, 9], и они равны x = 3+-sqrt(-a^2 + 8a + 9). Чтобы оба корня удовлетворяли x>= -(a)/(7), достаточно потребовать 3 - sqrt(-a^2 + 8a + 9)>= -(a)/(7). Так как ain [-1, 9], левая часть имеет смысл, а правая часть 3 + (a)/(7) > 0, можно возвести в квадрат: sqrt(-a^2 + 8a + 9)<= 3 + (a)/(7) -a^2 + 8a + 9<=(3 + (a)/(7))^2. Перенесём всё в одну сторону: (3 + (a)/(7))^2 - (-a^2 + 8a + 9) >= 0. Вычислим: 9 + (6a)/(7) + (a^2)/(49) + a^2 - 8a - 9 = (50)/(49)(a^2 - 7a) = (50)/(49)a(a-7). Значит, оба корня из первого случая подходят тогда и только тогда, когда a(a-7) >= 0=> a<= 0 или a>= 7, при этом ещё нужно ain [-1, 9]. 2) Если 7x+a < 0, то x < -(a)/(7) и x^2 + a^2 + x - 7a = -(7x + a) => x^2 + 8x + a^2 - 6a = 0. Дискриминант D_2 = 64 - 4(a^2 - 6a) = 4(-a^2 + 6a + 16). Действительные корни есть при ain [-2, 8], и они равны x = -4+-sqrt(-a^2 + 6a + 16). Чтобы оба корня удовлетворяли x < -(a)/(7), достаточно потребовать для большего корня -4 + sqrt(-a^2 + 6a + 16) < -(a)/(7) sqrt(-a^2 + 6a + 16) < 4 - (a)/(7). В диапазоне ain [-2, 8] правая часть положительна, можно возвести в квадрат: -a^2 + 6a + 16 < (4 - (a)/(7))^2. Переносим в одну сторону: (4 - (a)/(7))^2 - (-a^2 + 6a + 16) > 0. Вычислим: 16 - (8a)/(7) + (a^2)/(49) + a^2 - 6a - 16 = (50)/(49)(a^2 - 7a) = (50)/(49)a(a-7). Получаем a(a-7) > 0=> a < 0 или a > 7, при этом ещё нужно ain [-2, 8]. Теперь посчитаем число корней исходного уравнения. При ain (-1, 0): оба уравнения имеют по два различных корня, и по полученным условиям оба корня первого случая удовлетворяют x>= -(a)/(7), а оба корня второго — x < -(a)/(7). Значит, всего 4 различных корня. При ain (7, 8): аналогично получаем 4 различных корня. Граничные значения: - a = -1: в первом случае D_1 = 0, получаем один корень; во втором случае два корня, оба удовлетворяют x < (1)/(7). Итого 3 корня. - a = 0: во втором случае корень x = 0 лежит на границе x < 0 и не подходит, остаётся один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня. - a = 7: во втором случае корень x = -1 лежит на границе x < -1 и не подходит, остаётся один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня. - a = 8: во втором случае D_2 = 0, один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня. Во всех остальных значениях a хотя бы один из случаев даёт не более одного подходящего корня (или вовсе не даёт корней), поэтому различных корней не больше двух. Следовательно, больше двух различных корней уравнение имеет при ain [-1, 0] U [7, 8].
\(a\in[-1,0]\cup[7,8]\)