Задача №15388

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x^2+a^2+x-7a=|7x+a|$$

имеет больше двух различных корней.

Рассмотрим уравнение

$$x^2+a^2+x-7a=|7x+a|.$$

Раскроем модуль по знаку $7x+a\text{.}$

1) Если $7x+a\ge 0\text{,}$ то $x\ge -\frac{a}{7}$ и

$$x^2+a^2+x-7a=7x+a\Rightarrow x^2-6x+a^2-8a=0.$$

Дискриминант

$$D_1=36-4(a^2-8a)=4(-a^2+8a+9).$$

Поэтому действительные корни есть при $a\in [-1,9]\text{,}$ и они равны

$$x=3\pm \sqrt{-a^2+8a+9}.$$

Чтобы оба корня удовлетворяли $x\ge -\frac{a}{7}\text{,}$ достаточно потребовать

$$3-\sqrt{-a^2+8a+9}\ge -\frac{a}{7}.$$

Так как $a\in [-1,9]\text{,}$ левая часть имеет смысл, а правая часть $3+\frac{a}{7}>0\text{,}$ можно возвести в квадрат:

$$\sqrt{-a^2+8a+9}\le 3+\frac{a}{7}$$ $$-a^2+8a+9\le {\left(3+\frac{a}{7}\right)}^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$${\left(3+\frac{a}{7}\right)}^2-(-a^2+8a+9)\ge 0.$$

Вычислим:

$$9+\frac{6a}{7}+\frac{a^2}{49}+a^2-8a-9=\frac{50}{49}(a^2-7a)=\frac{50}{49}a(a-7).$$

Значит, оба корня из первого случая подходят тогда и только тогда, когда

$$a(a-7)\ge 0\Rightarrow a\le 0\text{ или }a\ge 7,$$

при этом ещё нужно $a\in [-1,9]\text{.}$

2) Если $7x+a<0\text{,}$ то $x<-\frac{a}{7}$ и

$$x^2+a^2+x-7a=-(7x+a)\Rightarrow x^2+8x+a^2-6a=0.$$

Дискриминант

$$D_2=64-4(a^2-6a)=4(-a^2+6a+16).$$

Действительные корни есть при $a\in [-2,8]\text{,}$ и они равны

$$x=-4\pm \sqrt{-a^2+6a+16}.$$

Чтобы оба корня удовлетворяли $x<-\frac{a}{7}\text{,}$ достаточно потребовать для большего корня

$$-4+\sqrt{-a^2+6a+16}<-\frac{a}{7}$$ $$\sqrt{-a^2+6a+16}<4-\frac{a}{7}.$$

В диапазоне $a\in [-2,8]$ правая часть положительна, можно возвести в квадрат:

$$-a^2+6a+16<{\left(4-\frac{a}{7}\right)}^2.$$

Переносим в одну сторону:

$${\left(4-\frac{a}{7}\right)}^2-(-a^2+6a+16)>0.$$

Вычислим:

$$16-\frac{8a}{7}+\frac{a^2}{49}+a^2-6a-16=\frac{50}{49}(a^2-7a)=\frac{50}{49}a(a-7).$$

Получаем

$$a(a-7)>0\Rightarrow a<0\text{ или }a>7,$$

при этом ещё нужно $a\in [-2,8]\text{.}$

Теперь посчитаем число корней исходного уравнения.

• При $a\in (-1,0)\text{:}$ оба уравнения имеют по два различных корня, и по полученным условиям оба корня первого случая удовлетворяют $x\ge -\frac{a}{7}\text{,}$ а оба корня второго — $x<-\frac{a}{7}\text{.}$ Значит, всего 4 различных корня.

• При $a\in (7,8)\text{:}$ аналогично получаем 4 различных корня.

• Граничные значения:

  • $a=-1\text{:}$ в первом случае $D_1=0\text{,}$ получаем один корень; во втором случае два корня, оба удовлетворяют $x<\frac{1}{7}\text{.}$ Итого 3 корня.
  • $a=0\text{:}$ во втором случае корень $x=0$ лежит на границе $x<0$ и не подходит, остаётся один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня.
  • $a=7\text{:}$ во втором случае корень $x=-1$ лежит на границе $x<-1$ и не подходит, остаётся один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня.
  • $a=8\text{:}$ во втором случае $D_2=0\text{,}$ один корень; в первом случае два корня. Итого 3 корня.

Во всех остальных значениях $a$ хотя бы один из случаев даёт не более одного подходящего корня (или вовсе не даёт корней), поэтому различных корней не больше двух.

Следовательно, больше двух различных корней уравнение имеет при

$$a\in [-1,0]\cup [7,8].$$