Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 25^x - (a + 6)5^x = (5 + 3|a|)5^x - (a + 6)(3|a| + 5) имеет единственное решение.
Сделаем замену t = 5^x > 0. Уравнение превращается в квадратное: t^2 - (a + 3|a| + 11)t + (a+6)(3|a|+5)=0. Рассмотрим два случая. a 0: тогда |a|=a, дискриминант D=(2a-1)^2. При a=0.5 один корень t=6.5>0 — единственное решение. При a!= 0.5 два корня: t_1=a+6, t_2=3a+5, оба положительны, дают два решения. a < 0: |a|=-a, дискриминант D=(4a+1)^2. Корни: t_1 = -3a+5, t_2 = a+6. При a < -6 t_2 < 0, только t_1>0 — одно решение. При a=-6 t_2=0 не подходит, t_1>0 — одно решение. При a=-0.25 один корень t=5.75>0 — одно решение. При -6 < a < -0.25 и -0.25 < a < 0 оба корня положительны — два решения. Ответ: a -6, a = -0.25, a = 0.5.
\(a\in (-\infty, -6] \cup \{-0.25, 0.5\}\)