Задача №15387

Найдите все значения $a\text{,}$ для каждого из которых уравнение

$$25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)$$

имеет единственное решение.

Сделаем замену $t=5^x>0\text{.}$ Уравнение превращается в квадратное: $t^2-(a+3|a|+11)t+(a+6)(3|a|+5)=0\text{.}$

Рассмотрим два случая.

1. $a⩾0\text{:}$ тогда $|a|=a\text{,}$ дискриминант $D=(2a-1{)}^2\text{.}$ При $a=0.5$ один корень $t=6.5>0$ — единственное решение. При $a\ne 0.5$ два корня: $t_1=a+6\text{,}$ $t_2=3a+5\text{,}$ оба положительны, дают два решения.

2. $a<0\text{:}$ $|a|=-a\text{,}$ дискриминант $D=(4a+1{)}^2\text{.}$ Корни: $t_1=-3a+5\text{,}$ $t_2=a+6\text{.}$ При $a<-6$ $t_2<0\text{,}$ только $t_1>0$ — одно решение. При $a=-6$ $t_2=0$ не подходит, $t_1>0$ — одно решение. При $a=-0.25$ один корень $t=5.75>0$ — одно решение. При $-6<a<-0.25$ и $-0.25<a<0$ оба корня положительны — два решения.

Ответ: $a⩽-6\text{,}$ $a=-0.25\text{,}$ $a=0.5\text{.}$