Задача №15384

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

Пусть сумма кредита $S$ тыс. рублей. Долг уменьшается на 30 тыс. рублей в месяцы с 1 по 20, поэтому за 20 месяцев долг уменьшится на $20\cdot 30=600$ тыс. рублей. На 21 месяц остаток $S-600$ должен быть погашен.

Долг после выплаты в месяце $k\text{:}$ $D_k=S-30k$ для $k=0,1,\dots ,20$ (где $D_0=S\text{,}$ $D_{20}=S-600\text{,}$ $D_{21}=0$).

Выплата в месяце $k$ ($1\le k\le 20$):

$$Y_k=0,03D_{k-1}+30.$$

Выплата в 21-м месяце:

$$Y_{21}=1,03D_{20}=1,03(S-600).$$

Общая сумма выплат:

$$\sum _{k=1}^{20}(0,03D_{k-1}+30)+1,03(S-600)=1604.$$

Сумма $D_0+D_1+\dots +D_{19}\text{:}$ арифметическая прогрессия из 20 членов с первым $S$ и последним $S-570\text{:}$

$$\frac{S+(S-570)}{2}\cdot 20=(2S-570)\cdot 10=20S-5700.$$

Тогда:

$$0,03(20S-5700)+600+1,03S-618=1604.$$ $$0,6S-171+600+1,03S-618=1604.$$ $$1,63S-189=1604.$$ $$1,63S=1793.$$ $$S=1100.$$

Ответ: 1100 тыс. рублей.