Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(x^2 - a^2) = sqrt(4x^2 - (4a+2)x + 2a) на отрезке [0; 1] имеет ровно один корень.

Уравнение sqrt(x^2 - a^2) = sqrt(4x^2 - (4a+2)x + 2a). Возводим в квадрат с учётом ОДЗ: x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a, x^2 - a^2 0, 4x^2 - (4a+2)x + 2a 0. Преобразуем: 3x^2 - (4a+2)x + (a^2 + 2a) = 0. Дискриминант: D = (4a+2)^2 - 12(a^2+2a) = 4(a-1)^2. Корни: x_1 = a, x_2 = (a+2)/(3) (независимо от знака a-1). Корень x = a лежит в [0;1] при 0 a 1. Для него ОДЗ выполняется автоматически: a^2 - a^2 = 0, второе неравенство: 4a^2 - (4a+2)a + 2a = 0. Корень x = (a+2)/(3) лежит в [0;1] при -2 a 1. ОДЗ для него: ( (a+2)/(3))^2 a^2=> 2a^2 - a - 1 0=> ain[ -(1)/(2); 1]. Второе неравенство даёт то же условие. С учётом отрезка: ain[ -(1)/(2); 1]. Ровно один корень на [0;1] в случаях: 1. Только x = a лежит в [0;1], а x = (a+2)/(3) не лежит или не удовлетворяет ОДЗ: ain [0;1] и anot in[ -(1)/(2); 1] — невозможно, так как [0;1] c[ -(1)/(2); 1]. 2. Только x = (a+2)/(3) лежит в [0;1], а x = a не лежит: ain[ -(1)/(2); 0) (при a=0 оба корня лежат). 3. Корни совпадают: a = (a+2)/(3)=> a = 1. При a=1 один корень x=1. При ain (0;1) оба корня лежат в [0;1] — два корня. При остальных a корней на отрезке нет. Ответ: ain[ -(1)/(2); 0) U 1.

\(a\in\left[-\dfrac{1}{2}, 0\right) \cup \{1\}\)