Задача №15383

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$$

на отрезке $[0;1]$ имеет ровно один корень.

Уравнение $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}\text{.}$

Возводим в квадрат с учётом ОДЗ:

$$x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,x^2-a^2⩾0,4x^2-(4a+2)x+2a⩾0.$$

Преобразуем:

$$3x^2-(4a+2)x+(a^2+2a)=0.$$

Дискриминант:

$$D=(4a+2{)}^2-12(a^2+2a)=4(a-1{)}^2.$$

Корни:

$$x_1=a,x_2=\frac{a+2}{3}(\text{независимо от знака }a-1).$$

Корень $x=a$ лежит в $[0;1]$ при $0⩽a⩽1\text{.}$ Для него ОДЗ выполняется автоматически: $a^2-a^2=0\text{,}$ второе неравенство: $4a^2-(4a+2)a+2a=0\text{.}$

Корень $x=\frac{a+2}{3}$ лежит в $[0;1]$ при $-2⩽a⩽1\text{.}$ ОДЗ для него:

$${\left(\frac{a+2}{3}\right)}^2⩾a^2\Rightarrow 2a^2-a-1⩽0\Rightarrow a\in \left[-\frac{1}{2};1\right].$$

Второе неравенство даёт то же условие. С учётом отрезка: $a\in \left[-\frac{1}{2};1\right]\text{.}$

Ровно один корень на $[0;1]$ в случаях:

1. Только $x=a$ лежит в $[0;1]\text{,}$ а $x=\frac{a+2}{3}$ не лежит или не удовлетворяет ОДЗ:
$a\in [0;1]$ и $a\notin \left[-\frac{1}{2};1\right]$ — невозможно, так как $[0;1]\subset \left[-\frac{1}{2};1\right]\text{.}$

2. Только $x=\frac{a+2}{3}$ лежит в $[0;1]\text{,}$ а $x=a$ не лежит:
$a\in \left[-\frac{1}{2};0\right)$ (при $a=0$ оба корня лежат).

3. Корни совпадают:

$$a=\frac{a+2}{3}\Rightarrow a=1.$$

При $a=1$ один корень $x=1\text{.}$

При $a\in (0;1)$ оба корня лежат в $[0;1]$ — два корня. При остальных $a$ корней на отрезке нет.

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{2};0\right)\cup \{1\}\text{.}$