Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (4x + |x - a| - |3x + 1|)^2 - (a + 1)(4x + |x - a| - |3x + 1|) + 1 = 0 имеет ровно два различных корня.

Пусть t = 4x + |x-a| - |3x+1|. Тогда уравнение принимает вид t^2 - (a+1)t + 1 = 0. Дискриминант: D = (a+1)^2 - 4 = a^2+2a-3 = (a+3)(a-1). При ain (-3; 1) нет действительных t, решений нет. Исследуем функцию f(x) = 4x + |x-a| - |3x+1|. Если a < -(1)/(3), то f(x) строго возрастает на R, непрерывна, и каждому t соответствует ровно один x. При a < -3 квадратное уравнение имеет два различных t, значит, исходное уравнение имеет ровно два корня. При a = -3 один t, один корень. Если a > -(1)/(3), то f(x) = cases 6x + a + 1, & x < -(1)/(3) a - 1, & -(1)/(3)<= x < a 2x - a - 1, & x>= a cases Здесь f(x) непрерывна, постоянна на отрезке [-(1)/(3); a]. Уравнение f(x) = t имеет единственное решение при t!= a-1 и бесконечно много при t = a-1. Квадратное уравнение имеет действительные корни при a<= -3 или a>= 1. Учитывая a > -(1)/(3), рассматриваем a>= 1. При a=1 один корень t=1!= 0, уравнение f(x)=1 имеет одно решение. При a>1 два различных корня t_1, t_2. Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня x, необходимо t_i!= a-1. Подстановка t = a-1 в квадратное уравнение дает a = (3)/(2). При a=(3)/(2) один из корней равен a-1, что приводит к бесконечному числу решений. Ответ: a < -3 или 1 < a < (3)/(2) или a > (3)/(2).

\(a < -3\text{ или }1 < a < \dfrac{3}{2}\text{ или }a > \dfrac{3}{2}\)