Задача №15382

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(4x+|x-a|-|3x+1|{)}^2-(a+1)(4x+|x-a|-|3x+1|)+1=0$$

имеет ровно два различных корня.

Пусть $t=4x+|x-a|-|3x+1|\text{.}$ Тогда уравнение принимает вид $t^2-(a+1)t+1=0\text{.}$

Дискриминант: $D=(a+1{)}^2-4=a^2+2a-3=(a+3)(a-1)\text{.}$

При $a\in (-3;1)$ нет действительных $t\text{,}$ решений нет.

Исследуем функцию $f(x)=4x+|x-a|-|3x+1|\text{.}$

Если $a<-\frac{1}{3}\text{,}$ то $f(x)$ строго возрастает на $\mathbb{R}\text{,}$ непрерывна, и каждому $t$ соответствует ровно один $x\text{.}$ При $a<-3$ квадратное уравнение имеет два различных $t\text{,}$ значит, исходное уравнение имеет ровно два корня. При $a=-3$ один $t\text{,}$ один корень.

Если $a>-\frac{1}{3}\text{,}$ то

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}6x+a+1,& x<-\frac{1}{3}\\ a-1,& -\frac{1}{3}\le x<a\\ 2x-a-1,& x\ge a\end{array}$$

Здесь $f(x)$ непрерывна, постоянна на отрезке $[-\frac{1}{3};a]\text{.}$ Уравнение $f(x)=t$ имеет единственное решение при $t\ne a-1$ и бесконечно много при $t=a-1\text{.}$

Квадратное уравнение имеет действительные корни при $a\le -3$ или $a\ge 1\text{.}$ Учитывая $a>-\frac{1}{3}\text{,}$ рассматриваем $a\ge 1\text{.}$

При $a=1$ один корень $t=1\ne 0\text{,}$ уравнение $f(x)=1$ имеет одно решение.

При $a>1$ два различных корня $t_1,t_2\text{.}$ Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня $x\text{,}$ необходимо $t_i\ne a-1\text{.}$ Подстановка $t=a-1$ в квадратное уравнение дает $a=\frac{3}{2}\text{.}$ При $a=\frac{3}{2}$ один из корней равен $a-1\text{,}$ что приводит к бесконечному числу решений.

Ответ: $a<-3$ или $1<a<\frac{3}{2}$ или $a>\frac{3}{2}\text{.}$