Задача №15380

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r\text{,}$ если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей?

Сумма кредита $S=12000$ тыс. руб., срок 48 месяцев. Ежемесячное уменьшение долга

$$d=\frac{12000}{48}=250\text{ тыс. руб.}$$

Остаток долга на 15-е число месяца с номером $i\text{:}$ $D_i=12000-250i\text{.}$ Выплата в месяце $k\text{:}$

$$d+\frac{r}{100}{D}_{k-1}.$$

В 2030 году происходят платежи за месяцы с 37-го по 48-й. Сумма выплат за эти месяцы:

$$\sum _{k=37}^{48}\left(d+\frac{r}{100}{D}_{k-1}\right)=12d+\frac{r}{100}\sum _{i=36}^{47}{D}_i.$$

Вычисляем сумму остатков:

$$\sum _{i=36}^{47}{D}_i=\sum _{i=36}^{47}(12000-250i)=12\cdot 12000-250\sum _{i=36}^{47}i=144000-250\cdot 498=144000-124500=19500.$$

Тогда сумма выплат в 2030 году:

$$12\cdot 250+\frac{r}{100}\cdot 19500=3000+195r.$$

По условию это равно 3195 тыс. руб.:

$$3000+195r=3195,$$ $$195r=195,$$ $$r=1.$$

Ответ: $r=1$ (процентная ставка 1% в месяц).