Задача №15379

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?

в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

Пусть $x$ — количество 20-тонных контейнеров, $y$ — 60-тонных, всего $N=x+y\text{.}$ Контейнеров с сахаром: $a+b=0.75N\text{,}$ где $a$ — число 20-тонных с сахаром, $b$ — 60-тонных с сахаром. Масса сахара: $20a+60b\text{.}$

а) Условие:

$$20a+60b=0.8(20x+60y)\Rightarrow a+3b=0.8(x+3y).$$

Подбором: возьмём $N=8\text{,}$ $x=7\text{,}$ $y=1\text{.}$ Тогда $a+b=6\text{.}$ Пусть $a=5\text{,}$ $b=1\text{.}$ Проверим:

$$20\cdot 5+60\cdot 1=160,20\cdot 7+60\cdot 1=200,\frac{160}{200}=\mathrm{0.8.}$$

Значит, может.

б) Условие:

$$a+3b=0.4(x+3y).$$

Из $a+b=0.75N$ и $N=x+y\text{,}$ выразим:

$$0.75N+2b=0.4(N+2y)\Rightarrow 2b=-0.35N+0.8y\Rightarrow b=-0.175N+0.4y.$$

Из ограничений $a\le x$ и $b\le y$ следует:

$$0.4375N\le y\le 0.125N,$$

что невозможно при $N>0\text{.}$ Значит, нет.

в) Чтобы максимизировать долю массы сахара, выгодно все 60-тонные контейнеры сделать с сахаром, а 20-тонные без сахара. Пусть $x$ — количество 20-тонных без сахара, $y$ — 60-тонных с сахаром. Тогда:

$$y=0.75N,x=0.25N,\text{где }N=x+y.$$

Масса сахара:

$$60y=60\cdot 0.75N=45N.$$

Общая масса:

$$20x+60y=20\cdot 0.25N+45N=5N+45N=50N.$$

Доля:

$$\frac{45N}{50N}=\mathrm{0.9.}$$

Пример: $N=4\text{,}$ $x=1\text{,}$ $y=3\text{,}$ доля $90\%\text{.}$

Ответ:

а) может

б) не может

в) $90\%$