Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (3x + |x - a| + |2x + a + 1|)^2 - a(3x + |x - a| + |2x + a + 1|) + a^2 - 16 = 0 имеет ровно один корень.
Обозначим T(x)=3x+|x-a|+|2x+a+1|. Тогда исходное уравнение перепишется как T(x)^2-aT(x)+a^2-16=0. Рассмотрим квадратный трёхчлен F(t)=t^2-at+a^2-16. Тогда решения исходного уравнения по x соответствуют решениям уравнения F(t)=0 по t таким, что t принадлежит множеству значений T(x). Область значений и взаимно-однозначность для T(x) Точки смены знаков под модулями: x=a и x=-(a+1)/(2). Случай 1: x<= a и 2x+a+1<= 0, то есть x<= a и x<= -(a+1)/(2). Тогда T(x)=3x+(a-x)+(-2x-a-1)=-1. Значит, при всех x<= m, m=(a,-(a+1)/(2)), имеем T(x)=== -1 (бесконечно много x). Случай 2: x<= a и 2x+a+1>= 0, то есть -(a+1)/(2)<= x<= a. Тогда T(x)=3x+(a-x)+(2x+a+1)=4x+2a+1, это линейная функция со скоростью роста 4>0. Случай 3: x>= a и 2x+a+1<= 0 (возможен только при a<= -13, и тогда a<= x<= -(a+1)/(2)). Тогда T(x)=3x+(x-a)+(-2x-a-1)=2x-2a-1, это линейная функция со скоростью роста 2>0. Случай 4: x>= a и 2x+a+1>= 0 (то есть x>=(a,-(a+1)/(2))). Тогда T(x)=3x+(x-a)+(2x+a+1)=6x+1, со скоростью роста 6>0. Во всех случаях, кроме первого, T(x) строго возрастает по x. При этом в точке x=m значение равно -1, а при x +inf имеем T(x) +inf. Следовательно, T(x)>= -1 при всех x; T(x)=-1 на луче ( -inf,m]; для каждого t>-1 уравнение T(x)=t имеет ровно одно решение x; для t<-1 решений нет. Условия на корни уравнения F(t)=0 Дискриминант D=a^2-4(a^2-16)=64-3a^2. а) D=0 Тогда a=+-(8)/(sqrt(3)), а единственный корень по t: t_0=(a)/(2). При a=(8)/(sqrt(3)): t_0=(4)/(sqrt(3))>-1, значит существует ровно одно x. При a=-(8)/(sqrt(3)): t_0=-(4)/(sqrt(3))<-1, решений по x нет. б) D>0 Тогда два различных корня t_1<t_2. Ровно один корень исходного уравнения по x получится тогда и только тогда, когда ровно одно из чисел t_1,t_2 строго больше -1, то есть t_1<-1<t_2. Поскольку парабола F(t) ветвями вверх, условие -1 между корнями равносильно F(-1)<0. Вычислим: F(-1)=(-1)^2-a(-1)+a^2-16=a^2+a-15. Тогда a^2+a-15<0 выполняется при ain((-1-sqrt(61))/(2),(-1+sqrt(61))/(2)). Границы не включаются, так как при F(-1)=0 число -1 является корнем по t, а тогда уравнение T(x)=-1 даёт бесконечно много решений по x. Ответ Объединяя найденные значения параметра, получаем ain((-1-sqrt(61))/(2),(-1+sqrt(61))/(2))U(8)/(sqrt(3)).
\(a\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{61}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)\cup\left\{\dfrac{8}{\sqrt3}\right\)