Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3x+∣x−a∣+∣2x+a+1∣)2−a(3x+∣x−a∣+∣2x+a+1∣)+a2−16=0имеет ровно один корень.
Обозначим
T(x)=3x+∣x−a∣+∣2x+a+1∣.Тогда исходное уравнение перепишется как
T(x)2−aT(x)+a2−16=0.Рассмотрим квадратный трёхчлен
F(t)=t2−at+a2−16.Тогда решения исходного уравнения по x соответствуют решениям уравнения F(t)=0 по t таким, что t принадлежит множеству значений T(x).
1. Область значений и взаимно-однозначность для T(x)
Точки смены знаков под модулями:
x=aиx=−2a+1.Случай 1: x≤a и 2x+a+1≤0, то есть
x≤aиx≤−2a+1.Тогда
T(x)=3x+(a−x)+(−2x−a−1)=−1.Значит, при всех
x≤m,m=min(a,−2a+1),имеем T(x)≡−1 (бесконечно много x).
Случай 2: x≤a и 2x+a+1≥0, то есть
−2a+1≤x≤a.Тогда
T(x)=3x+(a−x)+(2x+a+1)=4x+2a+1,это линейная функция со скоростью роста 4>0.
Случай 3: x≥a и 2x+a+1≤0 (возможен только при a≤−31, и тогда a≤x≤−2a+1). Тогда
T(x)=3x+(x−a)+(−2x−a−1)=2x−2a−1,это линейная функция со скоростью роста 2>0.
Случай 4: x≥a и 2x+a+1≥0 (то есть x≥max(a,−2a+1)). Тогда
T(x)=3x+(x−a)+(2x+a+1)=6x+1,со скоростью роста 6>0.
Во всех случаях, кроме первого, T(x) строго возрастает по x. При этом в точке x=m значение равно −1, а при x→+∞ имеем T(x)→+∞. Следовательно,
2. Условия на корни уравнения F(t)=0
Дискриминант
D=a2−4(a2−16)=64−3a2.а) D=0
Тогда
a=±38,а единственный корень по t:
t0=2a.При a=38:
t0=34>−1,значит существует ровно одно x.
При a=−38:
t0=−34<−1,решений по x нет.
б) D>0
Тогда два различных корня t1<t2. Ровно один корень исходного уравнения по x получится тогда и только тогда, когда ровно одно из чисел t1,t2 строго больше −1, то есть
t1<−1<t2.Поскольку парабола F(t) ветвями вверх, условие −1 между корнями равносильно
F(−1)<0.Вычислим:
F(−1)=(−1)2−a(−1)+a2−16=a2+a−15.Тогда
a2+a−15<0выполняется при
a∈(2−1−61,2−1+61).Границы не включаются, так как при F(−1)=0 число −1 является корнем по t, а тогда уравнение T(x)=−1 даёт бесконечно много решений по x.
3. Ответ
Объединяя найденные значения параметра, получаем
a∈(2−1−61,2−1+61)∪{38}.