Задача №15377

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ |y|=|x^2-2x|\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Исходная система равносильна совокупности:

$$[\begin{array}{l}y=x^2-2x,x+y=ay=-x^2+2x,x+y=a\end{array}$$

Первая система: подстановка даёт $x^2-x-a=0\text{,}$ дискриминант $D_1=1+4a\text{.}$ Вторая система: $x^2-3x+a=0\text{,}$ дискриминант $D_2=9-4a\text{.}$

Решения из разных систем совпадают только при $a=0$ и $a=2\text{,}$ давая тогда три решения.

Количество решений исходной системы:

1. При $a<-\frac{1}{4}\text{:}$ первая система не имеет решений, вторая — два, всего 2.
2. При $a=-\frac{1}{4}\text{:}$ первая — одно, вторая — два, всего 3.
3. При $-\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}\text{,}$ $a\ne 0,2\text{:}$ обе по два, всего 4.
4. При $a=0$ или $a=2\text{:}$ обе по два, но одно общее, всего 3.
5. При $a=\frac{9}{4}\text{:}$ первая — два, вторая — одно, всего 3.
6. При $a>\frac{9}{4}\text{:}$ первая — два, вторая — нет, всего 2.

Условие "ровно два решения" выполняется при $a<-\frac{1}{4}$ или $a>\frac{9}{4}\text{.}$