Задача №15376

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x+ay-5)(x+ay-5a)=0\\ x^2+y^2=16\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Первое уравнение задаёт объединение двух прямых:

$$(x+ay-5)(x+ay-5a)=0⟺\{\begin{array}{l}x+ay-5=0,x+ay-5a=0.\end{array}$$

Если $a=1\text{,}$ то $5a=5\text{,}$ прямые совпадают, и система с окружностью $x^2+y^2=16$ имеет не более двух различных решений. Поэтому далее считаем $a\ne 1\text{.}$

Чтобы система имела ровно 4 различных решения, каждая из двух различных прямых должна пересекать окружность в двух точках, то есть быть секущей: расстояние от центра $(0,0)$ до каждой прямой должно быть строго меньше радиуса $4\text{.}$

1) Для прямой $x+ay-5=0$ расстояние до начала координат равно

$$d_1=\frac{|-5|}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{5}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Условие $d_1<4\text{:}$

$$\frac{5}{\sqrt{1+a^2}}<4\Rightarrow 25<16(1+a^2)\Rightarrow a^2>\frac{9}{16}\Rightarrow |a|>\frac{3}{4}.$$

2) Для прямой $x+ay-5a=0$ расстояние равно

$$d_2=\frac{|-5a|}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Условие $d_2<4\text{:}$

$$\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}<4\Rightarrow 25a^2<16(1+a^2)\Rightarrow 9a^2<16\Rightarrow |a|<\frac{4}{3}.$$

Итак, необходимо и достаточно:

$$\frac{3}{4}<|a|<\frac{4}{3},a\ne 1.$$

Отсюда

Ответ:

$$a\in \left(-\frac{4}{3};-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{3}{4};1\right)\cup \left(1;\frac{4}{3}\right).$$