Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений cases (x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0 [2pt] x^2 + y^2 = 16 cases имеет ровно четыре различных решения.

Первое уравнение задаёт объединение двух прямых: (x+ay-5)(x+ay-5a)=0+ay-5=0, x+ay-5a=0.cases Если a=1, то 5a=5, прямые совпадают, и система с окружностью x^2+y^2=16 имеет не более двух различных решений. Поэтому далее считаем a!= 1. Чтобы система имела ровно 4 различных решения, каждая из двух различных прямых должна пересекать окружность в двух точках, то есть быть секущей: расстояние от центра (0,0) до каждой прямой должно быть строго меньше радиуса 4. 1) Для прямой x+ay-5=0 расстояние до начала координат равно d_1=(|-5|)/(sqrt(1+a^2))=(5)/(sqrt(1+a^2)). Условие d_1<4: (5)/(sqrt(1+a^2))<4=> 25<16(1+a^2) => a^2>(9)/(16)=> |a|>(3)/(4). 2) Для прямой x+ay-5a=0 расстояние равно d_2=(|-5a|)/(sqrt(1+a^2))=(5|a|)/(sqrt(1+a^2)). Условие d_2<4: (5|a|)/(sqrt(1+a^2))<4=> 25a^2<16(1+a^2) => 9a^2<16=> |a|<(4)/(3). Итак, необходимо и достаточно: (3)/(4)<|a|<(4)/(3), a!= 1. Отсюда Ответ: ain( -(4)/(3); -(3)/(4)) U((3)/(4); 1) U(1; (4)/(3)).

\(a\in\left( -\dfrac{4}{3},\,-\dfrac{3}{4}\right) \cup\left(\dfrac{3}{4},\,1\right) \cup\left(1,\,\dfrac{4}{3}\right)\)