Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений cases y = |x - a| - 4, [2pt] 4|y| + x^2 + 8x = 0 cases имеет ровно четыре различных решения.

Из второго уравнения 4|y|+x^2+8x=0=> |y|=-(x^2+8x)/(4). Так как |y| 0, то x^2+8x 0=> xin[-8,0]. При этом |y|=4-((x+4)^2)/(4). Обозначим g(x)=4-((x+4)^2)/(4) (на [-8,0] имеем g(x)in[0,4]). Тогда второе уравнение задаёт две ветви y=g(x), y=-g(x), xin[-8,0]. Первое уравнение: y=|x-a|-4 — V-образный график. Перейдём к переменным t=x+4in[-4,4], b=a+4. Тогда |x-a|=|t-b|, g(x)=4-(t^2)/(4). 1) Пересечения с нижней ветвью y=-g(x): |x-a|-4=-g(x) |t-b|-4=-4+(t^2)/(4) |t-b|=(t^2)/(4). Рассмотрим два случая. - Если t b, то t-b=(t^2)/(4)=> t^2-4t+4b=0. Корни t=2+- 2sqrt(1-b). - Если t b, то b-t=(t^2)/(4)=> t^2+4t-4b=0. Корни t=-2+- 2sqrt(1+b). 2) Пересечения с верхней ветвью y=g(x): |x-a|-4=g(x) |t-b|-4=4-(t^2)/(4) |t-b|=8-(t^2)/(4). Снова два случая. - Если t b, то t-b=8-(t^2)/(4)=> t^2+4t-32-4b=0. Корни t=-2+- 2sqrt(9+b). - Если t b, то b-t=8-(t^2)/(4)=> t^2-4t-32+4b=0. Корни t=2+- 2sqrt(9-b). Далее считаем число корней на tin[-4,4] с учётом условий t b или t b. Случай -1<b<0: 1) Уравнение |t-b|=(t^2)/(4). - В ветви t b корень 2+2sqrt(1-b)>4 (так как b<0=>sqrt(1-b)>1), а корень 2-2sqrt(1-b)in(-4,0) и при этом 2-2sqrt(1-b)>b. Значит, здесь 1 решение. - В ветви t b оба корня -2+-2sqrt(1+b) существуют (так как b>-1) и лежат в [-4,b]. Значит, здесь 2 решения. Итого с нижней ветвью: 3 пересечения. 2) Уравнение |t-b|=8-(t^2)/(4). - В ветви t b корень -2-2sqrt(9+b)<-4 не подходит, а корень -2+2sqrt(9+b) лежит в (0,4) (поскольку b<0=>sqrt(9+b)<3) и удовлетворяет t b. Это 1 решение. - В ветви t b корни дают значения вне [-4,4] при b<0 (в частности, 2-2sqrt(9-b)<-4). Решений нет. Итого с верхней ветвью: 1 пересечение. Так как при b!= 0 пересечения с верхней и нижней ветвями происходят при g(x)>0, получаем разные значения y, то есть все 4 решения различны. Случай 0<b<1: 1) Уравнение |t-b|=(t^2)/(4). - В ветви t b оба корня 2+-2sqrt(1-b) лежат в (0,4) и больше b, то есть дают 2 решения. - В ветви t b один корень -2-2sqrt(1+b)<-4 не подходит, второй -2+2sqrt(1+b)in(-1,0) и удовлетворяет t b. Это 1 решение. Итого с нижней ветвью: 3 пересечения. 2) Уравнение |t-b|=8-(t^2)/(4). - В ветви t b корень 2+2sqrt(9-b)>4 не подходит, а корень 2-2sqrt(9-b)in(-4,0) и удовлетворяет t b. Это 1 решение. - В ветви t b решений на [-4,4] нет (корни дают значения >4 или <-4). Итого с верхней ветвью: 1 пересечение. Снова получаем 4 различных решения. Граничные точки: - При b=0 (то есть a=-4) график y=|x-a|-4 проходит через точки x=-8 и x=0, где g(x)=0, поэтому пересечение с верхней и нижней ветвями в этих точках совпадает; всего получается 3 решения. - При b=+-1 (то есть a=-5 или a=-3) в одном из уравнений пересечения возникает касание (слияние корней), поэтому также получается 3 решения. Для b -1 или b 1 число пересечений не может быть равно 4 (по приведённому разбору оно 3). Ответ: ain(-5,-4)U(-4,-3).

\(a\in(-5,-4)\cup(-4,-3)\)