Задача №15374

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0\end{array}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Из второго уравнения

$$4|y|+x^2+8x=0\Rightarrow |y|=-\frac{x^2+8x}{4}.$$

Так как $|y|⩾0\text{,}$ то $x^2+8x⩽0\Rightarrow x\in [-8,0]\text{.}$ При этом

$$|y|=4-\frac{(x+4{)}^2}{4}.$$

Обозначим

$$g(x)=4-\frac{(x+4{)}^2}{4}$$

(на $[-8,0]$ имеем $g(x)\in [0,4]$). Тогда второе уравнение задаёт две ветви

$$y=g(x),y=-g(x),x\in [-8,0].$$

Первое уравнение: $y=|x-a|-4$ — V-образный график.

Перейдём к переменным

$$t=x+4\in [-4,4],b=a+4.$$

Тогда $|x-a|=|t-b|\text{,}$ $g(x)=4-\frac{t^2}{4}\text{.}$

1) Пересечения с нижней ветвью $y=-g(x)\text{:}$

$$|x-a|-4=-g(x)⟺|t-b|-4=-4+\frac{t^2}{4}⟺|t-b|=\frac{t^2}{4}.$$

Рассмотрим два случая.

• Если $t⩾b\text{,}$ то

$$t-b=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t^2-4t+4b=0.$$

Корни

$$t=2\pm 2\sqrt{1-b}.$$

• Если $t⩽b\text{,}$ то

$$b-t=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t^2+4t-4b=0.$$

Корни

$$t=-2\pm 2\sqrt{1+b}.$$

2) Пересечения с верхней ветвью $y=g(x)\text{:}$

$$|x-a|-4=g(x)⟺|t-b|-4=4-\frac{t^2}{4}⟺|t-b|=8-\frac{t^2}{4}.$$

Снова два случая.

• Если $t⩾b\text{,}$ то

$$t-b=8-\frac{t^2}{4}\Rightarrow t^2+4t-32-4b=0.$$

Корни

$$t=-2\pm 2\sqrt{9+b}.$$

• Если $t⩽b\text{,}$ то

$$b-t=8-\frac{t^2}{4}\Rightarrow t^2-4t-32+4b=0.$$

Корни

$$t=2\pm 2\sqrt{9-b}.$$

Далее считаем число корней на $t\in [-4,4]$ с учётом условий $t⩾b$ или $t⩽b\text{.}$

Случай $-1<b<0\text{:}$

1) Уравнение $|t-b|=\frac{t^2}{4}\text{.}$

• В ветви $t⩾b$ корень $2+2\sqrt{1-b}>4$ (так как $b<0\Rightarrow \sqrt{1-b}>1$), а корень $2-2\sqrt{1-b}\in (-4,0)$ и при этом $2-2\sqrt{1-b}>b\text{.}$ Значит, здесь 1 решение.

• В ветви $t⩽b$ оба корня $-2\pm 2\sqrt{1+b}$ существуют (так как $b>-1$) и лежат в $[-4,b]\text{.}$ Значит, здесь 2 решения.

Итого с нижней ветвью: 3 пересечения.

2) Уравнение $|t-b|=8-\frac{t^2}{4}\text{.}$

• В ветви $t⩾b$ корень $-2-2\sqrt{9+b}<-4$ не подходит, а корень $-2+2\sqrt{9+b}$ лежит в $(0,4)$ (поскольку $b<0\Rightarrow \sqrt{9+b}<3$) и удовлетворяет $t⩾b\text{.}$ Это 1 решение.

• В ветви $t⩽b$ корни дают значения вне $[-4,4]$ при $b<0$ (в частности, $2-2\sqrt{9-b}<-4$). Решений нет.

Итого с верхней ветвью: 1 пересечение.

Так как при $b\ne 0$ пересечения с верхней и нижней ветвями происходят при $g(x)>0\text{,}$ получаем разные значения $y\text{,}$ то есть все 4 решения различны.

Случай $0<b<1\text{:}$

1) Уравнение $|t-b|=\frac{t^2}{4}\text{.}$

• В ветви $t⩾b$ оба корня $2\pm 2\sqrt{1-b}$ лежат в $(0,4)$ и больше $b\text{,}$ то есть дают 2 решения.

• В ветви $t⩽b$ один корень $-2-2\sqrt{1+b}<-4$ не подходит, второй $-2+2\sqrt{1+b}\in (-1,0)$ и удовлетворяет $t⩽b\text{.}$ Это 1 решение.

Итого с нижней ветвью: 3 пересечения.

2) Уравнение $|t-b|=8-\frac{t^2}{4}\text{.}$

• В ветви $t⩽b$ корень $2+2\sqrt{9-b}>4$ не подходит, а корень $2-2\sqrt{9-b}\in (-4,0)$ и удовлетворяет $t⩽b\text{.}$ Это 1 решение.

• В ветви $t⩾b$ решений на $[-4,4]$ нет (корни дают значения $>4$ или $<-4$).

Итого с верхней ветвью: 1 пересечение.

Снова получаем 4 различных решения.

Граничные точки:

• При $b=0$ (то есть $a=-4$) график $y=|x-a|-4$ проходит через точки $x=-8$ и $x=0\text{,}$ где $g(x)=0\text{,}$ поэтому пересечение с верхней и нижней ветвями в этих точках совпадает; всего получается 3 решения.

• При $b=\pm 1$ (то есть $a=-5$ или $a=-3$) в одном из уравнений пересечения возникает касание (слияние корней), поэтому также получается 3 решения.

Для $b⩽-1$ или $b⩾1$ число пересечений не может быть равно 4 (по приведённому разбору оно $⩽3$).

Ответ:

$$a\in (-5,-4)\cup (-4,-3).$$