Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
∣x2+a2−6x+4a∣=2x−2aимеет ровно два различных корня.
Исходное уравнение равносильно совокупности с условием 2x−2a⩾0, т.е. x⩾a:
[x2+a2−6x+4a=2x−2a,x2+a2−6x+4a=−2x+2a.После упрощения получаем два квадратных уравнения:
x2−8x+a2+6a=0,x2−4x+a2+2a=0.Найдём условия существования действительных корней:
D1=64−4(a2+6a)=−4(a2+6a−16)=−4(a−2)(a+8)⩾0⇒a∈[−8;2], D2=16−4(a2+2a)=−4(a2+2a−4)⩾0⇒a∈[−1−5;−1+5].Заметим, что интервал для D2 содержится в интервале для D1. Корни уравнений:
x1,2=4±16−a2−6a,x3,4=2±4−a2−2a.Учитывая условие x⩾a, исследуем, когда каждый из корней ему удовлетворяет.
Для уравнения (1) больший корень всегда ⩾a при a∈[−8;2]. Меньший корень ⩾a тогда и только тогда, когда
16−a2−6a⩽4−a⇔a(a−1)⩾0⇔a⩽0 или a⩾1.Аналогично для уравнения (2) больший корень всегда ⩾a в области существования, а меньший — при том же условии a(a−1)⩾0.
Кроме того, уравнения могут иметь общий корень только при x=a, что происходит при a=0 или a=1.
Теперь разберём случаи.
1. Если a∈(−8;−1−5) или a∈(−1+5;2), то уравнение (2) не имеет действительных корней, а уравнение (1) имеет два корня, причём оба удовлетворяют x⩾a (поскольку в этих интервалах выполнено a(a−1)⩾0). Таким образом, получаем ровно два корня, за исключением граничных точек: при a=−8 и a=2 уравнение (1) имеет один корень, при a=−1±5 уравнение (2) имеет один корень, что приводит к трём корням в совокупности.
2. Если a∈[−1−5;−1+5], то оба уравнения имеют корни. При этом:
При a∈(−1−5;0) и a∈(1;−1+5) оба уравнения дают по два корня, удовлетворяющих x⩾a, и общих корней нет, итого четыре корня.
При a=0 или a=1 есть общий корень x=a, что даёт три корня.
При a∈(0;1) каждое уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий x⩾a (больший корень), и эти корни различны, так что всего два корня.
Объединяя все условия, получаем искомые значения параметра.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ