Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение |x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a имеет ровно два различных корня.

Исходное уравнение равносильно совокупности с условием 2x-2a 0 , т.е. x a : [ arrayl x^2 + a^2 - 6x + 4a = 2x - 2a, x^2 + a^2 - 6x + 4a = -2x + 2a. array. После упрощения получаем два квадратных уравнения: x^2 - 8x + a^2 + 6a = 0, x^2 - 4x + a^2 + 2a = 0. Найдём условия существования действительных корней: D_1 = 64 - 4(a^2+6a) = -4(a^2+6a-16) = -4(a-2)(a+8) 0=> ain [-8; 2], D_2 = 16 - 4(a^2+2a) = -4(a^2+2a-4) 0=> ain [-1-sqrt(5); -1+sqrt(5)]. Заметим, что интервал для D_2 содержится в интервале для D_1 . Корни уравнений: x_(1,2) = 4+-sqrt(16 - a^2 - 6a), x_(3,4) = 2+-sqrt(4 - a^2 - 2a). Учитывая условие x a , исследуем, когда каждый из корней ему удовлетворяет. Для уравнения (1) больший корень всегда a при ain [-8; 2] . Меньший корень a тогда и только тогда, когда sqrt(16 - a^2 - 6a) 4 - a <=> a(a-1) 0 <=> a 0 или a 1. Аналогично для уравнения (2) больший корень всегда a в области существования, а меньший — при том же условии a(a-1) 0 . Кроме того, уравнения могут иметь общий корень только при x = a , что происходит при a=0 или a=1 . Теперь разберём случаи. 1. Если ain (-8; -1-sqrt(5)) или ain (-1+sqrt(5); 2) , то уравнение (2) не имеет действительных корней, а уравнение (1) имеет два корня, причём оба удовлетворяют x a (поскольку в этих интервалах выполнено a(a-1) 0 ). Таким образом, получаем ровно два корня, за исключением граничных точек: при a = -8 и a = 2 уравнение (1) имеет один корень, при a = -1+-sqrt(5) уравнение (2) имеет один корень, что приводит к трём корням в совокупности. 2. Если ain [-1-sqrt(5); -1+sqrt(5)] , то оба уравнения имеют корни. При этом: - При ain (-1-sqrt(5); 0) и ain (1; -1+sqrt(5)) оба уравнения дают по два корня, удовлетворяющих x a , и общих корней нет, итого четыре корня. - При a = 0 или a = 1 есть общий корень x = a , что даёт три корня. - При ain (0; 1) каждое уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий x a (больший корень), и эти корни различны, так что всего два корня. Объединяя все условия, получаем искомые значения параметра.

\( a\in (-8, -1-\sqrt{5}) \cup (0, 1) \cup (-1+\sqrt{5}, 2) \)