Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x^2 + a^2 - x - 7a = |7x - a| имеет ровно два различных корня.

Раскроем модуль по определению. При 7x - a>= 0 уравнение принимает вид x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0. Его дискриминант D_1 = -4(a-8)(a+2). При 7x - a < 0: x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0, дискриминант D_2 = -4(a-9)(a+1). Требуется, чтобы уравнение имело ровно два различных корня. Проанализируем количество корней в зависимости от a. - При a < -2: D_1 < 0, D_2 < 0, корней нет. - При a = -2: D_1 = 0, D_2 < 0, один корень x=4. - При -2 < a < -1: D_1 > 0, D_2 < 0, два корня из первого случая, оба удовлетворяют условию знака. - При a = -1: D_1 > 0, D_2 = 0, получаются три различных корня. - При -1 < a < 0: D_1 > 0, D_2 > 0, все четыре корня удовлетворяют условиям знака. - При a = 0: три корня. - При 0 < a < 7: в первом случае только больший корень удовлетворяет условию, во втором — только меньший, итого два корня. - При a = 7: три корня. - При 7 < a < 8: четыре корня. - При a = 8: три корня. - При 8 < a < 9: только два корня из второго случая. - При a = 9: один корень. - При a > 9: корней нет. Таким образом, ровно два корня при ain (-2; -1) U (0; 7) U (8; 9).

\(a\in (-2, -1) \cup (0, 7) \cup (8, 9)\)