Задача №15372

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x^2+a^2-x-7a=|7x-a|$$

имеет ровно два различных корня.

Раскроем модуль по определению. При $7x-a\ge 0$ уравнение принимает вид $x^2-8x+a^2-6a=0\text{.}$ Его дискриминант $D_1=-4(a-8)(a+2)\text{.}$ При $7x-a<0\text{:}$ $x^2+6x+a^2-8a=0\text{,}$ дискриминант $D_2=-4(a-9)(a+1)\text{.}$

Требуется, чтобы уравнение имело ровно два различных корня. Проанализируем количество корней в зависимости от $a\text{.}$

• При $a<-2\text{:}$ $D_1<0\text{,}$ $D_2<0\text{,}$ корней нет.
• При $a=-2\text{:}$ $D_1=0\text{,}$ $D_2<0\text{,}$ один корень $x=4\text{.}$
• При $-2<a<-1\text{:}$ $D_1>0\text{,}$ $D_2<0\text{,}$ два корня из первого случая, оба удовлетворяют условию знака.
• При $a=-1\text{:}$ $D_1>0\text{,}$ $D_2=0\text{,}$ получаются три различных корня.
• При $-1<a<0\text{:}$ $D_1>0\text{,}$ $D_2>0\text{,}$ все четыре корня удовлетворяют условиям знака.
• При $a=0\text{:}$ три корня.
• При $0<a<7\text{:}$ в первом случае только больший корень удовлетворяет условию, во втором — только меньший, итого два корня.
• При $a=7\text{:}$ три корня.
• При $7<a<8\text{:}$ четыре корня.
• При $a=8\text{:}$ три корня.
• При $8<a<9\text{:}$ только два корня из второго случая.
• При $a=9\text{:}$ один корень.
• При $a>9\text{:}$ корней нет.

Таким образом, ровно два корня при $a\in (-2;-1)\cup (0;7)\cup (8;9)\text{.}$